2012(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法

1排列组合常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有种。分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种。二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是。分析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600AA种。三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．例3A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有。分析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A种。四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例4将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。2五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。例5有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有。分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520CCC种。六、多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。例6由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个。分析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A个，1131131131343333323333,,,AAAAAAAAAAA个，合并总计300个。七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()nABnAnBnAB。例9从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析：设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n()n(A)n(B)n(AB)252()Ⅰ－－＋∩＝＝种．PPPP64535342八、定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。例101名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种。分析：老师在中间三个位置上选一个有13A种，4名同学在其余4个位置上有44A3种方法；所以共有143472AA种。九、多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。例116个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是。分析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A种。例128个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素要排在后排，有多少种排法？分析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种，其余5个元素任排5个位置上有55A种，故共有1254455760AAA种排法。十、“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。例13从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有种。分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种。分析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有2112545470CCCC种。十一、选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例14四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种分析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C种，再排：在四个盒中每次排3个有34A种，故共有2344144CA种。4例159名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析：先取男女运动员各2名，有2254CC种，这四名运动员混和双打练习有22A中排法，故共有222542120CCA种。十二、部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求。例16以一个正方体顶点为顶点的四面体共有个。分析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C个。例17四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种。分析：10个点中任取4个点共有410C种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C，四个面共有464C个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个；所以四点不共面的情况的种数是44106436141CC种。十三、复杂排列组合问题构造模型法例18马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？分析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C种方法。所以满足条件的关灯方案有10种。说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决。十四、利用对应思想转化法例19圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？分析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内5接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有410C个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有410C个。6一、相邻问题捆绑法例1五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有种。二、相离问题插空法例2七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是。三、定序问题缩倍法例3A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有。四、标号排位问题分步法例4将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。五、有序分配问题逐分法例5有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有。六、多元问题分类法例6由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个。七、交叉问题集合法例7从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法例81名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则7有不同的排法有________种。九、多排问题单排法例96个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是。十、“至少”问题间接法例10从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有种。十一、选排问题先取后排法例11四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种十二、部分合条件问题排除法例12以一个正方体顶点为顶点的四面体共有个。十三、复杂排列组合问题构造模型法例13马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？十四、利用对应思想转化法例14圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？