2012南通高三数学第一次调研考试试卷(二模)

2012届高三模拟考试试卷(五)南通市2012届高三第一次调研测试数学(满分160分，考试时间120分钟)2012．3参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝1n(xi－x－)2，其中x－＝1nxi.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.在平面直角坐标系xOy中，双曲线y2－x2＝1的离率心为____________．2.若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位)，则z＝____________.3.在右图的算法中，最后输出的a、b的值依次是____________．a←1b←2c←3c←aa←bb←cPrinta，b(第3题)4.一组数据9.8,9.9,10，a,10.2的平均数为10，则该组数据的方差为______________．5.设全集U＝Z，集合A＝{x|x2－x－2≥0，x∈Z}，则UA＝____________(用列举法表示)．6.在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(1,2)，a－12b＝(3,1)，则a·b＝____________.7.将甲、乙两个球随机放入编号为1、2、3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1、2号盒子中各有1个球的概率为____________．8.设P是函数y＝x(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是____________．9.如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y＝log22x，y＝x12，y＝22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为__________．(第9题)10.观察下列等式：13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，…猜想：13＋23＋33＋43＋…＋n3＝____________(n∈N*)．11.在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为____________．12.若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈0，π2都成立，则a2－a1的最小值为____________．13.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F1BF2＝725，则直线CD的斜率为__________．(第13题)14.各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d(d＞0)的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列．若a4－a1＝88，则q的所有可能的值构成的集合为____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在斜三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.(1)若2sinAcosC＝sinB，求ac的值；(2)若sin(2A＋B)＝3sinB，求tanAtanC的值．16.(本小题满分14分)如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B＝A1D，AB＝AD.求证：(1)AA1⊥BD；(2)BB1∥DD1.17.(本小题满分14分)将52名志愿者分成A、B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A、B两组同时开始种植．(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时．应如何分配A、B两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间．18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1.(1)若过点C1(－1,0)的直线l被圆C2截得的弦长为65，求直线l的方程；(2)设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x＋sinx.(1)设P、Q是函数f(x)图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；(2)求实数a的取值范围，使不等式f(x)≥axcosx在0，π2上恒成立．20.(本小题满分16分)设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n＋k＝an·an＋2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．(1)若数列{an}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；(2)若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列．2012届高三模拟考试试卷(五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修41：几何证明选讲)如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC＝3，CD切半圆O于点D，DE⊥AB，垂足为E.若AE∶EB＝3∶1，求DE的长．B.(选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx在矩阵0110对应的变换下得到的直线过点P(4,1)，求实数k的值．C.(选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆ρ＝asinθ(a＞0)与直线ρcosθ＋π4＝1相切，求实数a的值．D.(选修45：不等式选讲)已知正数a，b，c满足abc＝1，求证：(a＋2)(b＋2)(c＋2)≥27.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.已知数列{an}满足：a1＝12，an＋1＝2anan＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：不等式0＜an＜an＋1对于任意n∈N*都成立．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F(1,0)．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N.(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：MN⊥x轴；(3)若直线MN与x轴的交点恰为F(1,0)，求证：直线AB过定点．2012届高三模拟考试试卷(五)(南通)数学参考答案及评分标准1.22.1＋2i3.2,14.0.025.{0,1}6.07.298.π3，π29.12，1410.nn＋12211.1212.1－2π13.122514.53，8715.解：(1)由正弦定理，得sinAsinB＝ab，从而2sinAcosC＝sinB可化为2acosC＝b，(3分)由余弦定理，得2a×a2＋b2－c22ab＝b，整理得a＝c，即ac＝1.(7分)(2)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin(2A＋B)＝3sinB可化为sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]，即－sin(A－C)＝3sin(A＋C)，(10分)故－sinAcosC＋cosAsinC＝3(sinAcosC＋cosAsinC)，整理，得4sinAcosC＝－2cosAsinC，(12分)因为△ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC≠0，所以tanAtanC＝－12.(14分)16.证明：(1)取线段BD的中点M，连结AM、A1M，因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD⊥AM，BD⊥A1M，(3分)又AM∩A1M＝M，AM、A1M平面A1AM，所以BD⊥平面A1AM，而AA1平面A1AM，所以AA1⊥BD.(7分)(2)因为AA1∥CC1，AA1平面D1DCC1，CC1平面D1DCC1，所以AA1∥平面D1DCC1.(9分)又AA1平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，(11分)所以AA1∥DD1，同理得AA1∥BB1，所以BB1∥DD1.(14分)17.解：(1)设A组人数为x，且0＜x＜52，x∈N*，则A组活动所需时间f(x)＝150×25x＝60x，(2分)B组活动所需时间g(x)＝200×1252－x＝10052－x，(4分)令f(x)＝g(x)，即60x＝10052－x，解得x＝392，所以两组同时开始的植树活动所需时间F(x)＝60x，x≤19，x∈N*，10052－x，x≥20，x∈N*，(6分)而F(19)＝6019，F(20)＝258，故F(19)＞F(20)，所以当A、B两组人数分别为20、32时，使植树活动持续时间最短．(8分)(2)A组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝367(小时)，(10分)B组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323(小时)，(12分)所以植树活动所持续的时间为367小时．(14分)18.解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，因为直线l被圆C2截得的弦长为65，而圆C2的半径为1，所以圆心C2(3,4)到l：kx－y＋k＝0的距离为|4k－4|k2＋1＝45.(3分)化简，得12k2－25k＋12＝0，解得k＝43或k＝34，所以直线l的方程为4x－3y＋4＝0或3x－4y＋3＝0.(6分)(2)①证明：设圆心C(x，y)，由题意，得CC1＝CC2，即x＋12＋y2＝x－32＋y－42，化简得x＋y－3＝0，即动圆圆心C在定直线x＋y－3＝0上运动．(10分)②圆C过定点，设C(m,3－m)，则动圆C的半径为1＋CC21＝1＋m＋12＋3－m2，于是动圆C的方程为(x－m)2＋(y－3＋m)2＝1＋(m＋1)2＋(3－m)2，整理，得x2＋y2－6y－2－2m(x－y＋1)＝0，(14分)由x－y＋1＝0，x2＋y2－6y－2＝0，得x＝1＋322，y＝2＋322；或x＝1－322，y＝2－322.所以定点的坐标为1－322，2－322，1＋322，2＋322.(16分)19.(1)证明：由题意，得f′(x)＝1＋cosx≥0，所以函数f(x)＝x＋sinx在R上单调递增，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有y1－y2x1－x2＞0，即kPQ＞0.(6分)(2)解：当a≤0时，f(x)＝x＋sinx≥0≥axcosx恒成立．(8分)当a＞0时，令g(x)＝f(x)－axcosx＝x＋sinx－axcosx，g′(x)＝1＋cosx－a(cosx－xsinx)＝1＋(1－a)cosx＋axsinx.①当1－a≥0，即0＜a≤1时，g′(x)＝1＋(1－a)cosx＋axsinx＞0，所以g(x)在0，π2上为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0＋sin0－a×0×cos0＝0，符合题意．(10分)②当1－a＜0，即a＞1时，令h(x)＝g′(x)＝1＋(1－a)cosx＋axsinx，于是h′(x)＝(2a－1)sinx＋axcosx，因为a＞1，所以2a－1＞0，从而h′(x)≥0，所以h(x)在0，π2上为单调增函数，所以h(0)≤h(x)≤hπ2，即2－a≤h(x)≤π2a＋1，亦即2－a≤g′(x)≤π2a＋1.(12分)(ⅰ)当2－a≥0，即1＜a≤2时，g′(x)≥0，所以g(x)在0，π2上为单调增函数．于是g(x)≥g(0)＝0，符合题意．(14分)(ⅱ)当2－a＜0，即a＞2时，存在x0∈0，π2，使得当x∈(0，x0)时，有g′(x)＜0，此时g(x)在(0，x0)上为单调减函数，从而g(x)