2012届东北师大附中高考理工类冲刺卷(数学)(A4)

高三年级高考冲刺（数学理科试卷）1/7理工试卷理工试卷理工试卷绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理工数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)～(24)题为选考题,其它题为必考题,考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1、答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号、填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2、选择题的答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。参考公式：样本数据x1,x2,…xn的标准差S=√1n[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(xn−x̅)2]锥体体积公式其中x̅为样本平均数𝑉=13𝑆ℎ柱体体积公式其中S为底面面积，h为高𝑉=𝑆ℎ球的表面积，体积公式其中S为底面面积，h为高𝑆=4𝜋𝑅2,𝑉=4𝜋3𝑅3其中R为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。(1)已知集合M＝{0，1，2}，N＝{x∈N|0𝑙𝑜g2(x+1)2},则M∩N＝(A){x|0𝑥3}(B){x|0≤x≤2}(C){1,2}(D){0,1,2}(2)设复数z=(1+i1−i)4,它虚部为(A)1(B)－1(C)0(D)2(3)已知α、β是不重合的两个平面，直线m⊂α,那么“m⊥β”是“α⊥β”的(A)必要而不充分条件(B)充分而不必要条件(C)充必要条件(D)既不充分也不必要条件高三年级高考冲刺（数学理科试卷）2/7理工试卷理工试卷理工试卷(4)已知数列{an}的通项公式为an＝2n−1，数列{bn}(n∈N∗)，满足a2,abn,a2n+2成等比数列，若b1+b2+b3+⋯+bm≤b40，则m的最大值为(A)7(B)14(C)15(D)21(5)过点(1,0)作函数𝑦=ln(𝑥−1)的切线,则切线的方程是(A)y=1−x2e(B)y=x−1(C)y=x−1e(D)y=x−12e(6)已知点Ｍ在平面区域{x−1≤03x+4y−4≥0y−2≤0内,点Ｎ在曲线(x+2)2+y2＝１上，那么|MN|的最小值是(A)3(B)1(C)２√10３+1(D)２√10３+2(7)直线y=kx+1(k0)与抛物线x2＝-2py(p0)相切，并且与圆(x−1)2+(y−1)2=12也相切，则抛物线的焦点坐标为(A)(0,-4)(B)(0,-2)(C)(0,-3)(D)(0,-1)(8)函数f(x)=x2−2x的零点个数为(A)１(B)２(C)３(D)４(9)有一长方体钻石，长、宽、高分别为a，b，c，产品检验员在检测时发现里面有一段直线形铜丝，经测算铜丝在长方体的共顶点的三个表面上的正投影长分别为d，e，f，则这段铜丝的长度为(A)√a2+b2+c2(B)√d2+e2+f2(C)√d2+e2+f22(D)√a2+b2+c22(10)过抛物线y2=2px(p0)的焦点作直线AB,交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y2x1x2等于(A)−p(B)-4(C)p2(D)4(11)设α∈(0,π2),则下列关系式正确的是(A)sin(sinα)cosαcos(cosα)(B)sin(cosα)cosαcos(sinα)(C)sin(sinα)cosαcos(sinα)(D)sin(cosα)cosαcos(cosα)(12)如图给出的是计算12+14+16+…+120的值的一个程序框图,其中判断框内的条件是(A)i10?(B)i10?(C)i20?(D)i20?是否n=n+2开始S=0，i=1S=S+n1i=i+1结束输出S，n=2高三年级高考冲刺（数学理科试卷）3/7理工试卷理工试卷理工试卷第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答。第Ⅱ卷第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求做答。(13)若f(x)={2x2，x∈[0,1]2x,x∈(1,2]则∫f(x)20dx=.(14)一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是.(15)定义在(-∞,+∞)上的偶函数,f(x)满足f(x+1)=−f(x),且在[-1,0]上为增函数,下面是关于f(x)的判断:①f(x)是周期函数②f(x)的图象关于直线x=1对称③f(x)在[0,1]上为增函数④f(x)在[1,2]是减函数⑤f(2)=f(0)其中正确的判断序号是.(把你认为正确的序号都填上)(16)已知函数f(x)=sinx+cosx+2sinxcosx+1，[−π4≤x≤π4]，则函数f(x)最小值为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17(本小题满分12分)已知数列{an}满足:Sn=1-an(n∈N∗)(Ⅰ)试求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足:bn=nan(n∈N∗),试求{bn}的前n项和公式Tn.18(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=√2,底面ABCD是边长为2有菱形,∠BAD=60°,E为AD的中点,F为PC的中点.(Ⅰ)求证:BE⊥平面PAD(Ⅱ)求点E到平面PBC的距离.俯视图侧视图正视图1321111CDEFPBA高三年级高考冲刺（数学理科试卷）4/7理工试卷理工试卷理工试卷19某电视台随机采访了准备进超市购物的顾客，其中有14名男顾客和16名女顾客，调查发现，男、女顾客中分别有6人和10人喜爱逛服装店，其余不喜爱。(1)根据以上数据完成以下２×２列联表：喜爱逛服装店不喜爱逛服装店总计女1016男614总计30(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱逛服装店有关？(3)从男顾客中抽出两名参加抽奖活动，若其中喜爱逛服装店人数为ξ，求ξ的分布列和期望值。参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d参考数据：20(本小题满分12分)如图所示，已知圆Ｃ：(x+1)2+y2=8,定点Ａ(1,0),M为圆上一动点，点Ｐ在ＡＭ上，点Ｎ在ＣＭ上，且满足AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AP⃗⃗⃗⃗⃗,NP⃗⃗⃗⃗⃗∙AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，点Ｎ的轨迹为曲线Ｅ。(1)求曲线Ｅ的方程；(2)若过定点Ｆ(0,2)的直线交曲线Ｅ于不同的两点Ｇ、Ｈ(点Ｇ在点Ｆ、Ｈ之间)且满足FG⃗⃗⃗⃗=λFH⃗⃗⃗⃗⃗,求λ的取值范围。21、已知函数f(x)=−x2+ax−lnx+1(1)若f(x)在(0,12)上是减函数，求a的取值范围；(2)函数f(x)是否既有最大值又有最小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。p(K2≥K0)0.400.250.100.010K00.7081.3232.7066.635高三年级高考冲刺（数学理科试卷）5/7理工试卷理工试卷理工试卷请考生在第(22)、第(23)、第(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号涂黑.(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，AB是⊙O的直经,AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D,DE⊥AC且DE交AC的延长线于E,OE交AD于F.(Ⅰ)求证：DE是⊙O的切线;(Ⅱ)若𝐴𝐶𝐴𝐵=35,求𝐴𝐹𝐷𝐹的值.(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合,直线l的参数方程是{𝑥=−1+35𝑡𝑦=−1+45𝑡(t为参数),曲线C的极坐标方程为𝜌=√2𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋4).(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于M、N两点,求M、N两点间的距离.(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x−4|−|x−2|(Ⅰ)作出函数y=f(x)的图象;(Ⅱ)解不等式|x−4|−|x−2|1CFABEDO高三年级高考冲刺（数学理科试卷）6/7理工试卷理工试卷理工试卷参考答案：一、选择题：1.C2.A3.B4.A5.C6.B7D8.C9.C10.D11.B12.A二、填空题13.23+2ln214.215.①②⑤16.017.an=(12)n,n∈N∗.Tn=(n−1)(2)n+1+2,n∈N∗18.（1）、可证BE⊥AD，BE⊥PE则BE⊥平面PAD；（2）、过E作EO⊥PB于O，则EO就是点E到平面PBC的距离EO＝√3219.(1).喜爱逛服装店不喜爱逛服装店总计女10616男6814总计161430(2).假设是否喜爱逛服装店与性别无关，由已知数据可以求得，K2=1.15752.706因此不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下判断喜爱逛服装店与性别有关。（3）.喜爱逛服装的人数为ξ，ξ的可以取值为0，1，2，其概率分别是P(ξ=0)＝C82C142=2891,P(ξ=1)＝C61C81C142C61=4891,P(ξ=2)＝C62C142=1591,分布列为：（略）Eξ＝789120.(1).因为AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AP⃗⃗⃗⃗⃗,NP⃗⃗⃗⃗⃗∙AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以NP是AM的垂直平分线，所以｜NA｜＝｜NM｜又因为｜CN｜+｜CM｜=2√2,……曲线E的方程为：x22+y2=1（2）当直线HG斜率存在时，设GH：y=kx+2,代入x22+y2=1得(12+k2)x2+4kx+3=0,由△0得k232设G（x1,y1）H（x2,y2）则x1+x2＝−4k12+k2x1x2＝312+k2因为FG⃗⃗⃗⃗=λFH⃗⃗⃗⃗⃗所以有（x1，y1-2）=λ（x2，y2−2）所以，x1＝λx2，所以，x1+x2＝（1+λ）x2，x1x2＝λx22所以（x1+x21+λ）2＝x22＝x1x2λ所以有，（−4k12+k2）2（1+λ）2＝x22＝312+k2λ，整理得，163（12K2+1）=（1+λ）2λl因为k232所以4163（12K2+1）163所以，4（1+λ）2λ163，解得，13𝜆3，高三年级高考冲刺（数学理科试卷）7/7理工试卷理工试卷理工试卷又因为，0λ1所以，13𝜆3又当GH不存在斜率时，λ＝13所以，[13，3）。21.f’(x)=-2x+a-1xf(x)在(0,12)上是减函数，所以x∈(0,12)时，-2x+a-1x0恒成立，即a2x+1x,设g(X)=2x+1x,则=2-1x2,因为x∈(0,12)时，1x24,g’(X)0g(X)在x∈(0,12)上是单调减函数，g(X)g(12)=3,所以a≤3.(2)若fX)既有最大值又有最小值，则.f’(x)=0必有两个不等正实数根，即2x2−ax+1=0有两个不等正实数根,所以a应满足{∆0a20化简得，{a2−80a0所以a2√2时，f’(x)=0必有两个不等正实数根。不妨设两个根为x1,x2,f’(x)=-1x(2x2−ax+1)=-2x(x-x1)(x-x2)知，0xx1时，f’(x)0x1𝑥x2时，f’(x)0xx2f’(x)0所以当a2√2时，函数f(x)既有最大值又有最小值22.(1)连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC,所以，OD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥OD，又OD为半经，所以DE是圆的切线。（2）、边点D作DH⊥AB于H，连接DB，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB＝ACAB＝35，设OD＝5x，则AB＝10