2012届北京市三各区二模数学(理)试题分类汇编十四统计概率随机变量及其分布1(必修3选修2-3)

十四、统计、概率、随机变量及其分布（必修3、选修2-3）1.（2012年丰台二模理12）某地区恩格尔系数(%)y与年份x的统计数据如下表：年份x2004200520062007恩格尔系数y(%)4745.543.541从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．答案：31.25。2.（2012年东城二模理2）将容量为n的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n的值为（B）A．70B.60C.50D.403.（2012年海淀二模理9）在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则PAB的面积大于等于14的概率是_________．答案：12。4.（2012年西城二模理5）右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x和2x，标准差依次为1s和2s，那么（C）（注：标准差222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x为12,,,nxxx的平均数）A．12xx，12ssB.12xx，12ssC.12xx，12ssD.12xx，12ss5.（2012年丰台二模理5）盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是（B）A．18125B．36125C．44125D．811256.（2012年西城二模理6）已知函数()1fxkx，其中实数k随机选自区间[2,1]．对[0,1]x，()0fx的概率是（C）A．13B.12C.23D.347.（2012年西城二模理7）某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S，则S的最小值是（C）A．42B.41C.40D.398.（2012年西城二模理17）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为15,0,15,30．………………1分35310C1(15)C12PX；2155310CC5(0)C12PX；1255310CC5(15)C12PX；35310C1(30)C12PX．………………5分乙得分的分布列如下：X1501530P121125125121………………6分155115(15)01530121212122EX．………………7分（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B.则223332381()C()()()555125PA，………………10分511()12122PB．………………11分故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()11252125PPAB．……13分9.（2012年朝阳二模理16）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望.解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则39325()84PAC.答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584.[（Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则114739281()843CCPBC.答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13.……8分（Ⅲ）X的取值为2,3,4,5.12212222391(2)21CCCCPXC，12212424394(3)21CCCCPXC，12212626393(4)7CCCCPXC，1218391(5)3CCPXC.…11分所以X的分布列为X2345P1214213713X的数学期望143185234521217321EX.……13分10.（2012年丰台二模理16）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望Eξ=22．ξ10080600P0.05ab0.7（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722Eab，所以806017ab．因为0.050.71ab，所以0.25ab．由806017,0.25,abab可得0.1,0.15.ab………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元；100元和80元；100元和60元；80元和80元四种情况．设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375PA．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375．……13分11.（2012年昌平二模理16）某游乐场将要举行狙击移动靶比赛.比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分;在B区每射中一次得2分，射不中得0分.已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(pp.(Ⅰ)若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率；(Ⅱ)我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围.解：（Ⅰ）设“选手甲在A区射击得0分”为事件M,“选手甲在A区射击至少得3分”为事件N,则事件M与事件N为对立事件,6427)411(41)(3003)(CMP……2分6437642711)M(P)N(P……4分(Ⅱ)设选手甲在A区射击的得分为,则的可能取值为0，3，6,9.6427)41-(10)(3P;6427)411(41C3)(213P;649)411()41(6)(223CP;641)41(9)(3P所以的分布列为49641964966427364270E设选手甲在B区射击的得分为，则的可能取值为0，2，4.2)-(10)(pP；)1(2)1(C2)(12ppppP;24)(pP所以的分布列为024P2)1(p)1(2pp2ppp)p(p)p(E441221022根据题意，有EE1169494p,p…13分12.（2012年东城二模理16）某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为2141，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过三小时.（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的0369P64276427649641租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E.解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元.………2分都付2元的概率为1111428P；都付4元的概率为2111248P；都付6元的概率为31114416P；故所付费用相同的概率为1231115881616PPPP.……6分（Ⅱ）依题意，的可能取值为4，6，8，10，12.……8分1(4)8P；11115(6)442216P；1111115(8)44242416P；11113(10)442416P；111(12)4416P.故的分布列为4681012P18516516316116…………11分所求数学期望155311546810128161616162E.…13分13.（2012年海淀二模理17）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B两个项目可供选择：(1)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E(X1)=12；(2)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0p1)和1p.经专家测算评估:B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示：X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）求X2的分布列；（Ⅲ）若E(X1)E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得：0.41,11120.41712.abab解得：0.5,0.1ab==.…………3分（Ⅱ）X2的可能取值为4.12,11.76,20.40.24.12(1)1(1)(1)PXpppp，22211.761(1)(1)(1)(1)PXpppppp，220.40(1)PXpp.所以X2的分布列为:X24.1211.7620.40Pp(1p)p2+(1p)2p(1p)……………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：2224.12(1)11.76(1)20.40(1)EXpppppp211.76pp.………………11分因为E(X1)E(X2)，所以21211.76pp-++.所以0.40.6p.当选择投资B项目时，p的取值范围是0.4,0.6.…13分