2-1矩阵的左逆与右逆

第二专题广义逆矩阵广义逆矩阵是E.H.Moore于1920年首次提出来的，1955年R.Penrose利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。为此，我们从线性方程组mnnmbxA的解开始讨论(nm称为超定方程；nm称为亚定方程)。若存在向量x，使bAx成立，则称线性方程组为相容方程组，否则称为不相容方程或矛盾方程。对于相容方程组，若A是列满秩的，则有唯一解；否则有无穷多解AA1。我们要找到唯一的极小范数解mAA4,1。对于矛盾方程我们要找到它的近似解——最小二乘解lAA3,1；如果最小二乘解不唯一，我们要找到唯一的最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小二乘解，或最佳逼近解），AA4,3,2,1。§1矩阵的左逆与右逆设A是n阶矩阵，A可逆当且仅当存在n阶矩阵B，使得IBAAB当A可逆时，其逆唯一，记为1A.下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到nm矩阵上，定义一种单侧逆.一、满秩矩阵与单侧逆定义1设nmRA，若存在矩阵mnRB，使得nIBA则称A是左可逆的，称B为A的一个左逆矩阵，记为1LA.若存在矩阵mnRC，使得mIAC则称A是右可逆的，称C为A的一个右逆矩阵，记为1RA.下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件.定理1设nmRA，则下列条件是等价的：(1)A是左可逆的；(2)A的零空间0)(AN；(3),()mnrankAn,即A是列满秩的；(4)AAT是可逆的.证明)2()1(，设A是左可逆的，则存在mnRB，使得nIBA，),(ANx0Ax，于是00BBAxxIxn，即证A的解空间0)(AN.)3()2(，由0)(AN，再根据线性方程组解的理论知，nANnAR)(dim)(，从而A是列满秩的，当然有nm.)4()3(，设()rankAn,由dim[()]dim()TTRAARAn，知AAT是可逆的.)1()4(，由AAT可逆，得nTTIAAAA1)(知TTAAA1)(是A的一个左逆矩阵，即TTLAAAA11)(。注：左逆的一般表达式为：UAUAAATTL11)(其中U是使关系式)()(ArankUAArankT成立的任意m阶方阵。定理2设nmRA，则下列条件是等价的：(1)A是右可逆的；(2)A的列空间()mRAR；(3),()mnrankAm,即A是行满秩的；(4)TAA是可逆的。其证明留给读者.)3()1(，由mArankABrankIrankmm)()()(得nm，mAR)(，A是行满秩的；由mTTIAAAA1)(，知1)(TTAAA是A的一个右逆矩阵，即11)(TTRAAAA。注：右逆的一般表达式为：11)(TTRAVAVAA其中V满足)()(ArankAVArankT。例1矩阵050004A是右可逆的，不是左可逆的。由于10015/1004/10500043231RRA注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆,而且右逆矩阵和左逆矩阵都不是唯一的。若同时左可逆和右可逆，则此矩阵存在正则逆。二、单侧逆与解线性方程组定理3设nmRA是左可逆的，mnRB是A的一个左逆矩阵，则线性方程组bAX有形如BbX解的充要条件是0)(bABIm若上式成立，则方程组有唯一解bAAAXTT1)(证明设方程组bAX有解0X，则ABbXBAAAXb00)(，从而0)(bABIm.反过来，若0)(bABIm，则bABb，从而BbX0是方程组的解.当方程组有解时，因为A左逆，所以nAR)(，从而方程组bAX有唯一解.由TAAA1T)(是A的一个左逆矩阵，所以bAAAAXAAAXTT1T1T)()(，即bAAAXT1T)(为bAX的唯一解。注：虽然左逆矩阵不唯一，但方程的解唯一。定理4设nmRA是右可逆的，则线性方程组bAX对任何mRb都有解。且对A的任意一个右逆矩阵1RA，bAXR1是其解。特别地，bAAAXTT1)(是方程组bAX的一个解。证明因A右可逆，则mRIAA1，对任何mRb，都有bbIbAAmR1,即bAXR1是方程组bAX的解。事实上，矩阵的左逆（或右逆）矩阵还是矩阵的减号逆，自反减号逆，最小范数广义逆，最小二乘广义逆和加号逆。