2012届高考数学一轮复习教案13.3导数的综合问题

第1页（共8页）13.3导数的综合问题●知识梳理1.若函数f（x）有导数，它的极值可在方程f（x）=0的根处来考查，求函数y=f（x）的极值方法如下：（1）求导数f（x）；（2）求方程f（x）=0的根；（3）检查f（x）在方程f（x）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值.2.设y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a，b］内所有的极值，以及f（a）和f（b），最大者为最大值，最小者为最小值.●点击双基1.（2004年江苏，10）函数f（x）=x3－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－19解析：f（x）=3x2－3=0，x=±1，f（－3）=－17，f（0）=1，f（1）=－1，f（－1）=3.答案：C2.函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则A.0b1B.b1C.b0D.b21解析：f（x）=3x2－3b，当b0，0b1时，适合题意.答案：A3.已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是A.－37B.－29C.－5D.以上都不对解析：f（x）=6x（x－2），f（x）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x=0时，f（x）=m最大.∴m=3，f（－2）=－37，f（2）=－5.答案：A4.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________.解析：y′=3x2+2ax+b，－1、3是3x2+2ax+b=0的两根，∴a=－3，b=－9.答案：－125.设函数f（x）=x3－22x－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）m，则实数m的取值范围是________.解析：f（x）=3x2－x－2=0，x=1，－32，f（－1）=521，f（－32）=52722，f（1）=321，f（2）=7.∴m321.第2页（共8页）答案：m∈（－∞，27）●典例剖析【例1】（2004年天津，20）已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.剖析：（1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右f（x）的符号.（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.解：（1）f（x）=3ax2+2bx－3，依题意，f（1）=f（－1）=0，即.0323,0323baba解得a=1，b=0.∴f（x）=x3－3x，f（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.令f（x）=0，得x=－1，x=1.若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f（x）＞0，故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数.若x∈（－1，1），则f（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数.所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值.（2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x.∵f（x0）=3x02－3，∴切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）.代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.解得x0=－2，∴M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【例2】（2004年天津，21）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值－2.（1）求f（x）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x1、x2∈（－1，1），不等式|f（x1）－f（x2）|＜4恒成立.剖析：∵x∈R且f（x）是奇函数，∴f（0）=0.又x=1是极值点，∴f（1）=0，由此可得函数的解析式.（1）解：由奇函数定义，应有f（－x）=－f（x），x∈R，－ax3－cx+d=－ax3－cx－d，∴d=0.因此f（x）=ax3+cx，f（x）=3ax2+c.由题意知.03,2caca解得a=1，c=－3.∴f（x）=x3－3x，f（x）=3x3－3=3（x－1）（x+1），f（－1）=f（1）=0.当x∈（－∞，－1）时，f（x）＞0，故f（x）在单调区间（－∞，－1）上是增函数，当x∈（－1，1）时，f（x）＜0，故f（x）在单调区间（－1，1）上是减函数，当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数.∴（－∞，－1）和（1，+∞）为增区间；（－1，1）为减区间，x=－1时，f（－1）=2为极大值，第3页（共8页）x=－1时，f（1）=－2为极小值.（2）f（－1）=2，f（1）=－2.∵f（x）在（－1，1）上是减函数，∴对任意x1、x2∈（－1，1），有－2f（x1）2，－2f（x2）2，－4f（x1）－f（x2）4，即|f（x1）－f（x2）|4.评述：由奇函数定义可知当x=0时，则有f（0）=0，即函数过原点.对于本题的第（2）问，用数形结合法较为直观.【例3】设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.（1）求n的值；（2）求证：f（1）≥2.剖析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?解：（1）f（x）=3x2+2mx+n.∵f（x）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，∴当x=0时，f（x）取到极大值.∴f（0）=0.∴n=0.（2）∵f（2）=0，∴p=－4（m+2），f（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=－32m，∵函数f（x）在［0，2］上是减函数，∴x2=－32m≥2.∴m≤－3.∴f（1）=m+p+1=m－4（m+2）+1=－7－3m≥2.评述：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f（1）≥2时，首先将f（1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之.【例4】对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数.①f（x）在D上为单调函数；②存在闭区间［a，b］D，使f（x）在［a，b］上的值域也是［a，b］.（1）求闭函数y=－x3符合上述条件的区间［a，b］；（2）若f（x）=x3－3x2－9x+4，判断f（x）是否为闭函数.剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力.解：（1）∵y=－x3，∴y′=－3x2≤0.∴函数y=－x3为减函数.故,)(,)(abfbaf即.3,333abba∴.1,1ba所求闭区间为［－1，1］.（2）f（x）=3x2－6x－9.由f（x）≥0，得x≥3或x≤－1.由f（x）≤0，得－1≤x≤3.第4页（共8页）∴f（x）在定义域内不是单调函数.故f（x）不是闭函数.评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力.●闯关训练夯实基础1.函数y=x4－8x2+2在［－1，3］上的最大值为A.11B.2C.12D.10解析：y′=4x3－16x=4x（x2－4）.由y′=0及x∈［－1，3］知x=0或x=2.根据单调性知f（x）max=f（3）=11.答案：A2.函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，当a2－3b0时，f（x）是A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数解析：f（x）=3x2+2ax+b，Δ=4a2－12b0，∴f（x）0，f（x）是增函数.答案：A3.y=3x－x3的极大值是________，极小值是________.解析：f（x）在（－∞，－1）和（1，+∞）上递减，在（－1，1）上递增，f（－1）=－2为极小值，f（1）=2为极大值.答案：2－24.（2005年北京西城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y=f（x）在区间（－3，－21）内单调递增；②函数y=f（x）在区间（－21，3）内单调递减；③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=－21时，函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的是________.答案：③5.如图所示，曲线段OMB是函数f（x）=x2（0x6）的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t，f（t））处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q，第5页（共8页）（1）试用t表示切线PQ的方程；（2）试用t表示△QAP的面积g（t），若函数g（t）在［m，n］上单调递减，试求出m的最小值.解：（1）f（x）=2x，∴k=2t，切线PQ的方程为y－t2=2t（x－t），即2tx－y－t2=0.（2）由（1）可求得P（2t，0），Q（6，12t－t2），∴g（t）=S△QAP=21（6－21t）（12t－t2）=41t3－6t2+36t（0t6），g′（t）=43t2－12t+36.令g′（t）0，得4t12.考虑到0t6，∴4t6，即g（t）的单调减区间为（4，6）.∴m的最小值为4.6.直线y=a与函数f（x）=x3－3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围.解：先求函数f（x）的单调区间，由f（x）=3x2－3=0，得x=±1.当x－1或x1时，f（x）0；当－1x1时，f（x）0.∴在（－∞，－1）和（1，+∞）上，f（x）=x3－3x是增函数；在（－1，1）上，f（x）=x3－3x是减函数，由此可以作出f（x）=x3－3x的草图（如图）.由图可知，当且仅当－2a2时，直线y=a与函数f（x）=x3－3x的图象有三个互不相同的公共点.培养能力7.已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x.（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在［－3，1］上的最值.解：（1）f（x）=12x2+2ax+b，f（1）=12+2a+b=－12.①又x=1，y=－12在f（x）的图象上，∴4+a+b+5=－12.②由①②得a=－3，b=－18，∴f（x）=4x3－3x2－18x+5.（2）f（x）=12x2－6x－18=0，得x=－1，23，f（－1）=16，f（23）=－461，f（－3）=－76，f（1）=－13.第6页（共8页）∴f（x）的最大值为16，最小值为－76.8.已知实数a0，函数f（x）=ax（x－2）2（x∈R）有极大值32.（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间.解：（1）∵f（x）=ax（x－2）2=ax3－4ax2+4ax，∴f（x）=3ax2－8ax+4a.由f（x）=0，得3ax2－8ax+4a=0.∵a≠0，∴3x2－8x+4=0.解得x=2或x=32.∵a0，∴x32或x2时，f（x）0；32x2时，f（x）0.∴当x=32时，f（x）有极大值32，即278a－916a+38a=32，∴a=27.（2）f（x）在（－∞，32）和（2，+∞）上是增函数，在（32，2）上是减函数.9.已知f（x）=ax5－bx3+c（a0）在x=±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值.解：已知f（x）=ax5－bx3+c，所以f（x）=5ax4－3bx2=x2（5ax2－3b）.根据题意f（x）=0应有根x=±1，故5a=3b.所以f（x）=5ax2（x2－1）.因a0时，列表：x（－∞，－1）－1（－1，1）1（1，+