2012届高考数学一轮复习课后强化作业7.3数学归纳法(理)

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2012届高考数学一轮复习课后强化作业7.3数学归纳法（理）一、选择题1．已知Sk＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k(k＝1,2,3，…)，则Sk＋1等于()A．Sk＋12(k＋1)B．Sk＋12k＋2－1k＋1C．Sk＋12k＋1－12k＋2D．Sk＋12k＋1＋12k＋2[答案]C[解析]Sk＋1＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋12(k＋1)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝Sk＋12k＋1－12k＋2.2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到()A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k[答案]D3．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k2＋kk＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案]D[解析]没用归纳假设．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com4．f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，经计算得f(2)＝32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72.推测：当n≥2时，有()A．f(2n－1)n＋12B．f(2n)n＋22C．f(2n)n2D．f(2n－1)n2[答案]B[解析]∵f(2)＝32；f(4)2，即f(22)2＋22；f(8)52，即f(23)3＋22，f(16)3，即f(24)4＋22；f(32)72，即f(25)5＋22，故猜想f(2n)n＋22(n≥2)．[点评]归纳猜想的结论是否正确有待证明，但这里不需要证明，只要符合归纳推理的规则就行．5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)49成立，则当k≥8时，均有f(k)k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立[答案]D[解析]对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.6．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2[答案]C[解析]第n个式子左边从n开始，含有2n－1项，最后一项为3n－2.故为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋[n＋(2n－2)]，右边为和式的项数的平方，故为(2n－1)2.[点评]作为选择题，将n＝2,3代入检验，排除A、B、D知选C.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com7．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……据此你可归纳猜想出的一般结论为()A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*)D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)[答案]D[解析]观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是(n＋1)2，故选D.8．(2010·天津滨海新区五校)若f(x)＝f1(x)＝x1＋x，fn(x)＝fn－1[f(x)](n≥2，n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝()A．nB.9n＋1C.nn＋1D．1[答案]A[解析]易知f(1)＝12，f(2)＝23，f(3)＝34，…，f(n)＝nn＋1；由fn(x)＝fn－1(f(x))得，f2(x)＝x1＋2x，f3(x)＝x1＋3x，…，fn(x)＝x1＋nx，从而f1(1)＝12，f2(1)＝13，f3(1)＝14，…，fn(1)＝1n＋1，，所以f(n)＋fn(1)＝1，故f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝n.9．如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧……这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为()金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.comA．(3n2＋n)πB．(3n2－n＋1)πC.(3n2＋n)π2D.(3n2－n＋1)π2[答案]A[解析]由条件知CA1，A1A2，A2A3，…，An－1An对应的中心角都是2π3，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为2π3，2π3×2，2π3×3…，据题意，第一圈长度为2π3(1＋2＋3)，第二圈长度为2π3(4＋5＋6)，第n圈长度为2π3[(3n－2)＋(3n－1)＋3n]，故Ln＝2π3(1＋2＋3＋…＋3n)＝2π3·3n(1＋3n)2＝(3n2＋n)π.10．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A．190B．715C．725D．385[答案]B[解析]由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，通项an＝4n－3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为n[1＋(4n－3)]2＝2n2－n.则前n件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n2)－(1＋2＋…＋n)＝4n3＋3n2－n6.当n＝10时，总数为715.二、填空题11．(2010·吉林市检测、浙江金华十校联考)观察下列式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，……，则可以猜想：当n≥2时，有__________________．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com[答案]1＋122＋132＋…＋1n22n－1n(n≥2)[解析]观察式子左边都是自然数的平方的倒数求和，右边分母为左边的项数，分子为项数的2倍减1，故右边表达式为2n－1n.12．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第100个数对是________．[答案](9,6)[解析]本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对，设1＋2＋3＋…＋(n－1)≤100，∴n(n－1)2≤100，∴n≤14，当n＝14时，100－n(n－1)2＝9，故这9对数的和都是15.∵15＝1＋14＝2＋13＝…＝9＋6，∴第100个数对为(9,6)．13．如果不等式2nn2＋1对于n≥n0的正整数n都成立，则n0的最小值为________．[答案]5[解析]当n＝1时，22不成立，当n＝2时，45不成立．当n＝3时，810不成立当n＝4时，1617不成立当n＝5时，3226成立当n＝6时，6437成立，由此猜测n应取5.14．(2010·南京调研)五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为________．[答案]4[解析]根据规则，五位同学第一轮报出的数依次为2,3,6,8,8，第二轮报出的数依次为4,2,8,6,8，第三轮报出的数依次为8,4,2,8,6，故除第一、第二位同学第一轮报出的数为2,3外，从第三位同学开始报出的数依次按6,8,8,4,2,8循环，则第2010个被报出的数为4.三、解答题15．(2010·南京调研)已知：(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com(2)设bn＝a22n－3，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝n(n＋1)(n－1)3.[解析](1)当n＝5时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝Cn2·2n－2bn＝a22n－3＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2)①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk＝k(k＋1)(k－1)3成立那么，当n＝k＋1时，左边＝Tk＋bk＋1＝k(k＋1)(k－1)3＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝k(k＋1)(k－1)3＋k(k＋1)＝k(k＋1)k－13＋1＝k(k＋1)(k＋2)3＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)－1]3＝右边．故当n＝k＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn＝n(n＋1)(n－1)3.16．已知函数f(x)＝ax－32x2的最大值不大于16，又当x∈14，12时，f(x)≥18.(1)求a的值；(2)设0a112，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an1n＋1.[解析](1)由题意知，f(x)＝ax－32x2＝－32x－a32＋a26.又f(x)max≤16，∴fa3＝a26≤16，∴a2≤1.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第7页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com又x∈14，12时，f(x)≥18，∴f12≥18f14≥18，