2011-2012北邮北邮概率论与随机过程研究生-答案

1北京邮电大学2011——2012学年第1学期《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一、填空题：（每小题3分，共30分）1．设集合{1,2,3}，则定义在上的包含{1}的最小-代数是.{,,{1},{2,3}}2．设随机事件12,,AA两两不相容且满足1,1,2(),3nnAnP.记1nnAA,则概率()PA.1/23．若集函数为定义在代数G上的测度，则当时，为定义在代数G上的概率测度.()14．若12A,A是上的两个非空集合类，i是iA(1,2)i上的测度，若满足：（1）;（2），则称2是1在2A上的扩张。12AA；112,()()AAA有A5．（1）设,,RF,B为二可测空间，f是从R到上的映射。若对BB，有，则称f是从,,FBR到上的可测映射；（2）设,PF,为一概率空间，X是从,PF,到,RB上的取有限值的实函数，若对任意实数x，有，则称X是,PF,上的随机变量。21()fBF；:()XxF6．设X为定义在概率空间,PF,上的随机变量，则数学期望EX用可测函数的积分表示形式为；若X的分布函数为()Fx，则数学期望EX的L-S积分形式为.dP;()xdFx7．设随机过程()cossin,0XtYtZtt,其中随机变量,YZ独立同分布于标准正态分布(0,1)N,则()Xt的一维概率密度函数(;)fxt.2212xe8．设随机过程{()}Xt均方可导，导过程为'()Xt，相关函数21(,)(21)6XRstst，则'(,)XRst.23s9．设()Nt为参数为1的泊松过程,(0)0N,则条件概率((2)2|(1)1)PNN.1/e10.设()Wt为参数为2的维纳过程,(0)0W,则二维随机变量(1),(2)WW的协方差矩阵为.22222二.（4分）设A是集代数，也是单调类，证明A是-代数.证明：由A是集代数，要证A是-代数，只需证A对可列并运算封闭。若nAA，n=1，2，…，3令1nnnkBA，由A是集代数知，nBA。……2分显然nB，且11nnnnBA，而A是单调类，故1nnBA，从而1nnAA。……2分三.（10分）设随机变量R和相互独立，且~U(0,2)，R具有概率密度22220()00rRrerfrr令X=Rcos，Y=Rsin，求(,)XY的概率密度.解：令cossinxryr，则22arctanrxyyx……2分cossin(,)'0sincos(,)rxyJrrr……2分又（R，）的联合概率密度为22220,(0,2)(,)20rrerfr其他……2分于是（X，Y）的联合概率密度为22222222211(,),,22xyxyrxyeexyr……4分四.（10分）设X与Y均服从参数为1的指数分布，且相互独立，求条件数学期望[()|()]EXYXY.解：令UXYVXY，则()/2,()/2uxyxuvvxyyuv解得。0.50.5(,)0.50.50.5(,)uvJxy4又（X，Y）的联合概率密度为(),0,0(,)0xyexyfxy其他于是（U，V）的联合概率密度为1,0,0,0(,)20,ueuuvuvuv其他（3分）则1,02()1,02vVvevvev于是当0v时，()|,0,0(|)0,uvUVeuuvuv其他当0v时，()|,0,0(|)0,uvUVeuuvuv其他（3分）于是当0v时，()[|]1uvvEUVvueduv，于是当0v时，()[|]1uvvEUVvueduv，（3分）|||EXYXYXY1（1分）五.（10分）设随机变量X的分布列为,0,1,2},!{kekkPXk（1）求随机变量X的特征函数()Xt;（2）求221EX.解（1）(1)11(()!!)itkikkitXitkeXkketEeeeekke.……4分5（2）记221YX,2222414481EXEEYX.……6分六.（10分）设(),()XtYt是两个相互独立的平稳过程，均值函数分别为,XYmm，谱密度函数分别为(),()fg,相关函数分别为(),()XYRR.（1）证明过程()()()ZtXtYt为平稳过程;（2）求平稳过程()Zt的功率谱函数()h.（1）证明(())[()()]()()XYEZtEXtYtEXtEYtmm（５＇）(,)[()()]=[(()())(()())]=()()2ZXYXYRttEZtZtEXtYtXtYtRRmm所以是平稳过程。（2）11()()22()()()2XYiZXiYhdeRedRRmm()()2()XYfgmm(5)七.（10分）3个人(分别称为第1,2,3人)相互传球,每次传球时,传球者等可能地把球传给其余2人中的任何一人．对0,1,2,...n,nX表示经过n次传递后球的状态（若经过n次传递后，球在第i人手中，则)3,2,1(iiXn）,令01X.（1）证明}0,{nXn为齐次马氏链，并写出一步转移概率矩阵；（2）求经过2次和4次传递后，球都回到第１人手中的概率241,1{}PXX.解：（1）证明：对于任意整数0,0mn，及任意mtttr210,当0},,,,{2121iXiXiXiXPmrtttr时，总有}|{},,,,|{2121iXjXPiXiXiXiXjXPmnmmrtttnmr且以上条件概率与m无关,其中}3,2,1{,,kiji，6故}0,{nXn为齐次马氏链．……２分又jijiiXjXPnn,0,21}|{1，3,2,1,ji所以一步转移概率矩阵为021212102121210P……5分（２）2111244111(2)424111442PP（2）初始分布为2,3,0}{,1}1{00iiXPXP,所以3402111111111{1}{}(2)(2)1,(2)(2)4iiPXXPXipppp……5分八.（10分）设马氏链{,0}nXn的状态空间为{1,2,3,4,5,6}，转移概率矩阵为700000000001000000333000011221122111112210000122P确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.解.（1）链可分,{3}{2,6}是不可分闭集,状态空间{2,6}{1,4,}3}5{E（2）周期(1)2,(5)2,()1,1,2,...,6dddii.……4分（3）设平稳分布为126(,,,),则16,11,1,2,,6.iPi解之得(0,,,0,0,)pqp,其中0,0,21qppq.（4）所以3,2,6正返态,1,4,5为非常返.……6分九.（6分）设{,1,2,}nXn是齐次有限马氏链,证明（1）所有非常返态不构成闭集;（2）状态空间中无零常返态.证明.(1)记所用非常返态的集合为A,并设之为闭集,则()1,,1,2,nijjApiAn由n的任意性,()()0limlim1,,nnijijnnjAjAppiA矛盾.…..3分8(2)设有零常返态,并记为i,则{:}kBkj为闭集.用B代替(1)中的A可证明结论.…..3分