2011年-河南-郑州市-高三-省市模拟(质量预测二)-理科-数学

郑州市2011年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．设函数y＝1x＋的定义域为M，集合N＝｛y｜y＝2x，x∈R}，则M∩N＝A．B．NC．[1，＋∞）D．M2．计算cos42°cos18°－cos48°cos72°的结果等于A．12B．33C．22D．323．已知向量a与b的夹角为3，｜a｜＝2，则a在b方向上的投影为A．3B．2C．22D．324．已知△ABC中，sinA：sinB：sinC＝1：1：2，则此三角形的最大内角的度数是A．60°B．90°C．120°D．135°5．已知正方体的外接球的体积是43，则这个正方体的棱长是A．23B．33C．223D．2336．设a、b是两条不同的直线，、β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥，b，则b∥；②若a∥，a⊥，则⊥；③若a⊥，⊥，则a∥或a；④若a⊥b，a⊥，b⊥，则⊥其中正确命题的个数为A．1B．2C．3D．47．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，2），P（ξ≤4）＝0．84，则P（ξ≤－2）＝A．0．16B．0．32C．0．68D．0．848．要得到函数y＝cos2x的图象，只需将函数y＝sin（2x＋3）的图象沿x轴A．向左平移12个单位B．向左平移6个单位C．向右平移6个单位D．向右平移12个单位9．右面的程序框图给出了计算数列{na}的前8项和S的算法，算法执行完毕后，输出的S为A．8B．63C．92D．12910．5位同学站成一排准备照相的时候，有两位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序一定，那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为A．6B．20C．30D．4211．设f（x）＝1232,12,xexxx－＜2,log－≥则不等式f（x）2的解集为A．（10，＋∞）B．（－∞，1）∪[2，10）C．（1，2]∪（10，＋∞）D．（1，10）12．设双曲线42xt2y＝（t≠0）的两条渐近线与直线x＝2围成的三角形区域（包含边界）为D，P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z＝12x－y的最小值为A．－2B．－322C．0D．－522第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共20分）13．若复数z＝11ii＋－＋mi（i为虚数单位）为实数，则实数m＝_______________．14．如图是一个几何体的三视图，则该几何[来源:Zxxk.Com]体的表面积为__________________．15．设抛物线2x＝4y的焦点为F，经过点P（1，4）的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则｜AF｜＋｜BF｜＝________________．16．设f（x）是R上的奇函数，且f（－1）＝0，当x0时，（2x＋1）f（x）－2xf（x）0，则不等式f（x）0的解集为______________．三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）已知数列{na}的前n项和nS＝2－na，数列{nb}满足b1＝1，b3＋b7＝18，且1nb－＋1nb＋＝2nb（n≥2）．（Ⅰ）求数列{na}和{nb}的通项公式；（Ⅱ）若nc＝nnba，求数列{nc}的前n项和nT．18．（本小题满分12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：60分以下61－70分71－80分81－90分91－100分甲班（人数）36111812乙班（人数）48131510现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀．（Ⅰ）试分别估计两个班级的优秀率；（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75％的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计19．（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2．（Ⅰ）求三棱锥C－A1B1C1的体积V；（Ⅱ）求直线BD1与平面ADB1所成角的正弦值；（Ⅲ）若棱AA1上存在一点P，使得AP＝λ1PA，当二面角A－B1C1－P的大小为30°时，求实数λ的值．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（2，0），B（－2，0），直线PA与PB的斜率之积为定值－12．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．21．（本小题满分12分）已知x12，函数f（x）＝2x，h（x）＝2elnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）＝－42x＋px＋q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立?若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．请考生22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4—1：（本小题满分10分）几何证明选讲如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH＝AC，EB＝BC，AE＝AK，BH＝BM．（Ⅰ）求证：E、H、M、K四点共圆；（Ⅱ）若KE＝EH，CE＝3，求线段KM的长．23．选修4－5：（本小题满分10分）不等式选讲已知实数a、b、c、d满足221ab，222cd，求ac＋bd的最大值．理科数学参考答案一、选择题BACCDDAACDBB二、填空题13.1；14.(52)；15.10；16.(,1)(0,1).三、解答题17.解：⑴由题意2nnSa，①当2n时，112nnSa，②①-②得11nnnnnaSSaa，即112nnaa，--------3分又11112,1aSaa，故数列{}na是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112nna；--------4分由112(2)nnnbbbn知，数列{}nb是等差数列，设其公差为d，则5371()92bbb，所以5124bbd，1(1)21nbbndn；综上，数列{}na和{}nb的通项公式为11,212nnnabn．--------7分⑵1(21)2nnnnbcna，1230121=123252(21)2,nnnTccccn③12121232(23)2(21)2nnnTnn，④③-④得123112(2222)(21)2nnnTn，--------9分[来源:学科网ZXXK]整理得2212(21)2(23)2312nnnnTnn，所以(23)23nnTn．--------12分18.解：⑴由题意，甲、乙两班均有学生50人，-------------------1分甲班优秀人数为30人，优秀率为3060%50，-----------2分乙班优秀人数为25人，优秀率为2550%50，-----------4分所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．-------------------5分⑵优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100----------7分注意到22100(30252025)1001.0105050554599K，----------------11分所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.-------------------12分19.解：⑴在1RtAAD中，11190,2,1,3.AADAAADAD--------1分注意到点C到面111ABC的距离即为四棱柱1111ABCDABCD的高1AD的长，所以11111113326VABBCAD．--------3分⑵以点D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系Oxyz，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3)DABA，111(0,1,3),(1,0,3),(1,1,3)BDC，-----5分11(2,1,3),(1,0,0),(0,1,3)BDDADB，设平面1ADB的法向量(,,)mxyz，由100mDAmDB得平面1ADB的一个法向量为(0,3,1)m，--------7分记直线1BD与平面1ADB所成的角为，则116sin||4||||BDmBDm，所以直线1BD与平面1ADB所成角的正弦值为64．--------8分⑶113,(,0,)11APPAP，又11113(1,0,0),(,1,)11BCBP，设平面11BCP的法向量(,,)nabc，由11100nBCnBP得平面11BCP的一个法向量为3(0,,1)1n，--------10分则2311cos30||||321(1)mnmn，注意到0，解得2为所求．--------12分20.解：⑴由题意1222yyxx，-----------2分整理得2212xy，所以所求轨迹E的方程为221(0)2xyy，------4分⑵当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；当直线l与x轴垂直时，:1lx，此时22(1,),(1,)22MN，以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为2(1,0)2，不合题意；---------------6分当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线:(1)(0)lykxk，1122(,),(,),MxyNxyMN的中点1212(,(1))22xxxxQk，由22(1),1,2ykxxy消y得2222(21)4220kxkxk，由21222242(21),4,2(21)kxkkxk得212221224,2122,21kxxkkxxk-------------------8分所以2222(,)2121kkQkk，则线段MN的中垂线m的方程为：22212()2121kkyxkkk，整理得直线2:21xkmykk，则直线m与y轴的交点2(0,)21kRk，注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，当且仅当RMRN,即112222(,)(,)02121kkRMRNxyxykk，----------------10分2121212222()021(21)kkxxyyyykk，①由22121212212122[()1],212(2),21kyykxxxxkkyykxxk②将②代入①解得1k，即直线l的方程为(1)yx，综上，所求直线l的方程为10xy或10xy．------------12分21.解：⑴证明：记2()()()2l