2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编专题10代数综合问题

-1-2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题10：代数综合问题11.（2012黑龙江龙东地区10分）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：运往地车型甲地（元/辆）乙地（元/辆）大货车720800小货车500650（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费。【答案】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得16x＋10（18－x）=228，解得x=8，∴18－x=18－8=10。答：大货车用8辆，小货车用10辆。（2）w=720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=70a＋11550，∴w=70a＋11550（0≤a≤8且为整数）。（3）由16a＋10（9－a）≥120，解得a≥5。又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数。∵w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大，∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900。答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元。-2-【考点】一元一次方程和一次函数的应用【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解。（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9－a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式。（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。12.（2012黑龙江绥化10分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？【答案】解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，则x3y4803xy400，解得x90y130。答：改造一所A类学校和一所B类学校的校舍分别需资金90万元，130万元。（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8－a）所．则20a308a2109020a130308a770，解得a3a1。∴1≤a≤3，即a=1，2，3。∴共有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所。【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为：-3-改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元。（2）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式（组）求解。本题不等量关系为：地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770。13.（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价l80元，售价320元；乙种服装每件进价l50元，售价280元．(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件?(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案?(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0a20)元出售，乙种服装价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?【答案】解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，根据题意得：180x＋150（200－x）=32400，解得：x=80，200－x=200－80=120。∴购进甲、乙两种服装80件、120件。（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据题意得：320180y280150200y26700320180y280150200y26800，解得：70≤y≤80。∵y是正整数，∴共有11种方案。（3）设总利润为W元，则W=（140－a）y+130（200－y），即w=（10－a）y+26000。①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大，∴当y=80时，W有最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装120件。②当a=10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以。③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小，-4-∴当y=70时，W有最大值，此时购进甲种服装70件，乙种服装130件。【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。【分析】（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解。（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解。（3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案。14.（2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。∴2600x(0x10x)y10x700x(10x50x)200x(x50x)，且整，且整，且整为数为数为数。（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当700x35210时，利润y有最大值，此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。-5-【考点】二次函数的应用。【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。15.（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝22，求m的值和此时方程的两根．【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根。（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1。∵|x1－x2|＝22，∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。解得：m1=－3，m2=1。当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1=2，x2=－2。当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+2，x2=－2－2。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况。（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1•x2，由已知条件|x1－x2|＝22平方后可以得到关于x1＋x2和x1•x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。17.（2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制-6-作方案，准备每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和所需工时如下表：服装名称西服休闲服衬衣工时/件213141收入（百元）/件321设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。（1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y的代数式表示衬衣的件数z。（2）求y与x之间的函数关系式。（3）问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y，从工时数方面：由12x+13y+14z=120整理得：z=480－2x－43y。（2）由（1）得360－x－y=480－2x－43y，整理得：y=360－3x。（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720由题意得2x60x03603x0，解得30≤x≤120。由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。（2）由（1）整理得：y=360－3x。（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得2x60x03603x0，解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。-7-18.（2012广东河源9分）(1)已知方