高等数学基本公式、概念和方法

高等数学基本公式、概念和方法一．函数1．函数定义域由以下几点确定（１）0)(;)(1xfxfy（２）0)(;)(2xfxfyn（其中n为正整数）（３）0)(:)(logxfxfya。（４）1)(1);(arccos1)(1);(arcsinxfxfyxfxfy（５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．（６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定．2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．（１）若)(),()(xfxfxf是偶函数，若)(),()(xfxfxf是奇函数．（２）若)(xfy的图象关于y轴对称，则函数是偶函数．如xyxycos..2等。若)(xfy的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如xyxyxysin....3３．将函数分解成几个简单函数的合成．由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系．二．极限与连续1．主要概念和计算方法：（１）．AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim0（必考）（２）．若0)(lim0xfxx（极限过程不限），则当0xx时)(xf为无穷小量。（必考）（3）．若)()(lim00xfxfxx，则函数在0x处是连续的。（必考）即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。若上述三条至少一条不满足，则0x是函数的间段点。（4）．间断点的分类：设0x是函数的间断点若左、右极限均存在，则0x称为第一类间断点。（要知道分类）若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x称为第二类间断点。（了解即可）（5）．重要公式：条件0)(limx（极限过程不限）（必考）结论《１》1)()(sinlimxx；《２》exx)(1)](1lim[*常用等价无穷小公式：(当x)（必考）1、x2、3、14、5、6、7、8、*重要极限：*公式：2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）（１）定式：直接得结论（即常数Ｃ、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。（２）不定式：（Ａ）00型：消去零因子或用公式《１》。（Ｂ）型：约去因子，使之变成定式。（Ｃ）1型：用公式《２》。（Ｄ）0型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。（Ｅ）型：通分或有理化，使之转化成其它类型。注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。三．导数（必考）（一）基本概念1．导数值：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx，也可以记作0);(0xxdxdyxy。2．导数的几何意义：)(0xf就是曲线)(xfy在点),(00yx处切线的斜率k，其切线的方程是：))((000xxxfyy，法线方程：)()(1000xxxfyy。３．函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。（二）．导数基本公式：（必考）1．0)(c2。1)(xx3。aaaxxln)(4。xxee)(5。xx1)(ln6．xxcos)(sin7。xxsin)(cos8。xx2sec)(tan9。xx2csc)(cot10．211)(arcsinxx11。211)(arccosxx12。211)(arctanxx13．211)cot(xxarc（三）微分法（设u和v都是x的函数）1．用定义求导数或导函数。2．vuvu)(3．vuvuuv)(；uccu)(4．2)(vvuvuvu5．设复合函数)(),(xuufy，则xuufy6．设)(xfy由隐函数0).(yxF确定，则yXFFy，也可以直接对方程求导数。7．对于单项式可以用取对数法求导数。对于幂指函数必须用取对数法求导数。8．设参数方程)()(tyytxx，则)()(txtyytt9．微分：dxydy10．反函数的导数：yxxy1附：函数在一点处几个概念之间的关系图四．中值定理与导数应用1．拉格朗日中值定理：条件：函数)(xf在[a,b]上连续，在（a,b）内可导结论：至少存在一点abafbffba)()()(),(使。罗比达法则(a’、b’是a、b的导数)（必考！）无穷小量等价替换和罗比达法则只能在乘法中用，其中罗比达法则只有当因式极限为零或者无穷的时候用罗比达法则未定型式的变换：（变成或者的形式）有定义（函数值存在）有极限连续（极限值等于函数值）可导（可微）通过这些变换可以使更多代数式实用罗比达法则3．单调性：若)(xfy在（a,b）内)(0)(xfxf在（a,b）内单调递增。若)(xfy在（a,b）内0)(xf)(xf在（a,b）内单调递减。a)极值存在的必要条件：若0)()(00xfxxfy处可导且取极值在（0x为驻点）b)极值存在的充分条件：设函数在a点连续，则：在a点左右函数的导数由正变负a点为函数的极大值点。在a点左右函数的导数由负变正a点为函数的极小值点。c)判断曲线凹凸的方法：若在(a,b)内)(xf0，则曲线)(xfy在（a,b）内上凹。如xeyxy...2等。若在(a,b)内)(xf0，则曲线)(xfy在（a,b）内下凹。如xyxyln...1等。４．曲线拐点的求法：设a为函数)(xfy的连续点，若函数)(xfy在a点处二阶导数变号，则曲线上的点（a,f(a)）为曲线的拐点。５．求渐近线的方法：（必考）若)(limxfax，则x=a为曲线)(xfy的铅直渐近线。若bxfx)(lim，则y=b为曲线)(xfy的水平渐近线。６．极值应用：i.画图、设变量x，并将其余变量用x表示。ii.建立函数关系，并写出定义域。iii.求函数的一阶导数，找出驻点。iv.说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。五．不定积分1．原函数：在某区间内，若在任一点处均有)()(xfxF，则称F（x）是)(xf的一个原函数。2．若)(xf有原函数F（x），则F（x）+C表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。3．若)(xf有原函数F（x），则)(xf的不定积分可表示为CxFdxxf)()(。4．不定积分的几何意义CxFdxxf)()(表示在x点处切线斜率均为)(xf的一族曲线。5．基本积分公式（必考）（1）)1.(111Cxdxx（2）Cxdxxln1（3）)1,0.(ln1aaCaadxaxx（4）Cedxexx（5）Cxxdxcossin（6）Cxxdxsincos（7）Cxxdxtansec2（8）Cxxdxcotcsc2（9）Caxdxxaarcsin122（10）Caxadxxaarctan1122（11）Cxxxdxtanseclnsec（12）Cxxxdxcotcsclncsc(13)Caxaxadxaxln21122（14）Caxxdxax2222ln16.积分性质（1）dxxfkdxxkf)()(（2）dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([（3）)(])([xfdxxf（4）Cxfdxxf)()(7．计算方法（1）直接积分法：先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。（必考）（2）第一换元法：对简单的题目用凑微分法一般地可以用代换)()(xxddx（必考）设)(xu的导数连续，则duufdxxxf)()()]([。（必考）（３）第二换元法：主要是消去被积函数中的2222,xaax等因子，见P286。(不考)（４）分部积分法：vduuvudvvdxuuvdxvu或，要用算式。（必考）选u的顺序：反、对、幂、指、三。（５）简单的有理函数积分：拆项法、大除法和待定系数法。六．定积分1．定积分特点：（1）定积分是一个数，与积分变量无关。（2）被积函数连续是可积的充分条件。（3）被积函数有界是可积的必要条件。2．定积分的几何意义（1）设0)(xf，则badxxf)(表示由曲线)(xfy直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形面积。（2）设0)(xf，则badxxf)(表示由曲线)(xfy直线y=0;x=a;x=b所围成的曲边梯形的负面积。（3）若)(xfy的符号不定，则badxxf)(表示面积的代数和。由此得到对称区间上的奇函数积分为0，即0)(aadxxf，其中函数)(xf是奇函数。3．主要性质（1）babadxxfkdxxkf)()(。（2）bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([。（3）badxxf)(bccadxxfdxxf)()(。4．变上限定积分的求导法：)()]([])([)(xxfdttfxa。5．牛顿---莱布尼兹公式条件：设)(xfy在区间[a,b]上连续，F(x)是xf的一个原函数结论：badxxf)(=F（b）--F(a)6.广义积分设xf在区间[a，)上连续，曲ba，则badxxflim)(badxxf)(在区间（，b）上类似定义。7．几个结论baaadxdxxf000)(，abbadxxfdxxf)()()(abkkdxba设xf是偶函数：00)(2)(2)(aaaadxxfdxxfdxxf设xf是奇函数：aadxxf0)(。８．求定积分的方法（1）利用几何意义（画出对应的图形）。（2）直接用牛顿---莱布尼兹公式（结合性质和几个结论）。（3）先求对应的不定积分，在用牛顿---莱布尼兹公式（注意函数的连续性）。（4）用定积分的换元法和分部法（换元必须换限）。不定积分表（基本积分）9．定积分应用（1）求平面图形的面积先画出这块面积，用阴影表示出。用定积分表示面积，再求出其值。（2）求平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积绕x轴：v=badxy2。绕y轴：v=dcdyx2七．微分方程。1．可分离变量：dxxfygdyygxfdxdy)()()()(2．一阶线性的：])([)()()()(Cdxexqeyxqyxpydxxpdxxp附录1：等价写法几种等价写法)()(.......lglog.....lnlog.)(sinsin......)(lnln..................11011xfdxddxdyxfyxxxxxxxxxxxxennnnnnnmnmnmnmxxxxxx......附录2：公式一、乘法与因式分解公式1.11.21.4)())((122321为奇数nbabbabaababannnnnnn二、三角不等式2.12.22.32.42.6三、一元二次方程的解3.2(韦达定理)根与系数的关系：四、某些数列的前n项和4.24.34.7五、二项式展开公式六、三角函数公式1两角和公式6.16.22倍角公式6.5cossin22sin6.63半角公式4和差化积5万能公式1:22tan2sinsec22:221cossectan22对数：01log......1logaaayxxyaxxaaaalogloglog.......(lnlnlog换底公式）xyxyxyxayaaaaloglog........logloglog七、导数与微分1求导与微分法则2导数及微分公式