2012秋季-线性代数35向量组的线性相关性

1/683.5向量组的线性相关性教学目的、要求：理解线性相关和线性无关的概念与性质理解极大线性无关组的概念掌握极大线性无关组的性质理解向量组的秩与矩阵秩之间的联系熟练掌握用初等变换法讨论向量组的线性相关性教学重点、难点：向量组线性相关与线性无关的判断极大线性无关组的性质向量组的秩与矩阵秩之间的关系用初等变换法讨论向量组的线性相关性2/68解线性方程组123512345123451234531,22242,33453,82.xxxxxxxxxxxxxxxxxxx111031221242331453111182A1110310012200001310000001、问题的提出3/681100710010420001310000001253545714231xxxxxxx对应的同解方程组为方程组含有三个方程、五个未知量，由取值，称为自由未知量.x1,x3,x4可以用x2,x5表示：1253545714231xxxxxxxx2,x5可以自1、问题的提出4/68令x2=k,x5=l(k,l为任意值)，因此方程组的一般解为：12345714231xklxkxlxlxl171100042031010kl1253545714231xxxxxxx1、问题的提出5/68问题：1、问题的提出自由未知量是不是只能取x2,x5？如果可以取其它未知量，又该怎么取？取其它自由未知量后通解的形式会变，是否还表示相同的解集合？6/68定义1n个有序的数a1,a2,,an所组成的数组称为n维向量,记为分量全为零的向量称为零向量,记为0(0,0,,0).分量全为实数的向量称为实向量.分量为复数的向量称为复向量.全体n维实向量的集合记为Rn.本课程除特别指明外,一般只讨论实向量.2、n维向量12(,,,),naaa其中ai称为向量的第i个分量(或坐标).7/68例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量(1,2,3,,n)(12i,23i,,n(n1)i)2、n维向量8/68行向量：n维向量写成一行,α(a1,a2,,an)行数为1的矩阵,即1n矩阵列向量：n维向量写成一列列数为1的矩阵,即n1矩阵1212,,,Tnnbbbbbb行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.当未说明是行向量还是列向量时,都当作列向量.2、n维向量9/68行向量和列向量都按矩阵的运算法则来运算.n维向量的加法和数乘:1212(,,,),(,,,)TTnnaaabbb1122(,,,)Tnnababab12(,,,)Tnkkakaka2、n维向量行向量和列向量就是行矩阵和列矩阵.10/68行向量和列向量都按矩阵的运算法则来运算.;(1)αββα()();αβγαβγ(2);ααα(0)03s.(4t.),,0;αβαβ;(5)1αα(6)()();klαklα(7)();klαkαlα(8)().kαβkαkβ负向量n维向量的加法和数乘满足以下运算规律:2、n维向量11/68例1计算设求1）2）3α－β.解：α+2β;3α－β＝α+2β＝10,111,01102110120210113011031013012,141.32、n维向量12/68向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式),,,(21nTaaaa坐标系)3(n)3(n2、n维向量13/68确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角)20(机身的仰角)22(机翼的转角)(所以，确定飞机的状态，需用6维向量),,,,,(zyxan维向量的实际意义2、n维向量14/6811121121222212jnjnmmmjmnaaaaaaaaaaaaA若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组．例如,矩阵[]ijmnaA可按列分块为n个m维的列向量向量组12,,,nααα称为矩阵A的列向量组.2α1αjαnα2α1αjαnα3、n维向量、向量组与矩阵15/68T1βT2βTiβTmβ11121212221212,nniiinmmmnaaaaaaaaaaaaA向量组称为矩阵A的行向量组.TTT12,,,nβββT1β类似地,矩阵A[aij]mn可按行分块为m个n维的行向量T2βTiβTmβ3、n维向量、向量组与矩阵16/68反之,含有限个向量的向量组也可以构成一个矩阵.含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．例如m个n维列向量构成nm矩阵:12,,,mααα12[];mAαααm个n维行向量构成mn矩阵:TTT12,,,mβββT1T2TmββBβ.3、n维向量、向量组与矩阵17/6811112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbnnxxaaabx1212[,,,]1122nnxaxaxab121122,,niiimniAbababbba3、n维向量、向量组与矩阵Axbnxb12[]线性方程组的向量表示18/68线性方程组的向量表示11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．1122nnxxxαααb3、n维向量、向量组与矩阵19/684、向量组的线性相关性定义2给定向量组12,,,,,mβααα若存在一组数12,,,,m使得mkmmkkβαααα11122则称β为向量组12,,,mααα的线性组合,可由向量组12,,,mααα线性表示.即线性方程组mmxαxαxαβ1122有解.β或称向量mmααα1212[]20/68表示并求出表示式TTT123(1,1,2,2),(1,2,1,3),(1,1,4,0),ααα例2设T(1,0,3,1),β证明向量能由向量组线性123,,αααβ解：11111032121001212143000023010000A2,rankArankA4、向量组的线性相关性即向量能由向量组线性表示123,,αααβ设[],[],123123AA所求问题等价于是否有解123123xxxAx即等价于解线性方程组Ax所以线性方程组有解，21/68[]123x3232212110cxccc由例2可知,讨论向量组的线性表示问题,实质上是讨论线性方程组是否有解和求解问题.4、向量组的线性相关性从而得到表达式其中为c任意常数(32)(21)123ccc123xxxAx的一般解为：22/68定义3给定向量组12,,,,mααα若存在不全为零的则称12,,,mααα线性相关,12,,,,m使得数1122,mmααα0否则称线性无关.4、向量组的线性相关性设T12[],(,,,),mmxxxAαααx则讨论向量组,,,mααα线性相关性实质上是讨论齐次线性方程组Ax0是否有非零解.23/684.一个向量α线性相关当且仅当α即对应分量成比例,几何上讲两向量共线;一个向量α线性无关当且仅当α5.两个向量12,αα线性相关当且仅当12,kαα空间中三个向量线性相关当且仅当它们共面.4、向量组的线性相关性2.对于任一向量组,不是线性相关就是线性无关.3.含零向量的向量组必定线性相关.向量组线性相关的性质：1.向量组12,,,mααα线性无关,只有当12m0时,才有1122mmααα0成立.,=00.24/68若向量组(I)线性相关,则向量组(II)必线性相关,线性相关,7.设1(I):,,,;(II):,,,,,,mmmmsαααααααα.若向量组(II)线性无关,则向量组(I)必线性无关.6.如果,,,mααα线性无关,,,,,mαααβ但β能由,,,mααα唯一线性表示.则称(I)为(II)的部分组,(II)称为整体组.8.对于n维向量组,,,,mααα量组必定线性相关.则该向如果,mn4、向量组的线性相关性向量组线性相关的性质：25/68定理1向量组线性相关的充要,,,(2)mmααα条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.其中任何一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.注向量组线性无关的充要条件是,,,(2)mmααα4、向量组的线性相关性26/68例3n维向量组TTT12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)neee线性无关.称12,,,neee为基本(标准)向量组.证：11220nnkekeke由得:0001000100012121nnkkkkkk120nkkk因此12,,,neee故4、向量组的线性相关性线性无关.27/68例4讨论下述向量组的线性相关性:123410321214,,,11032317αααα.分析：1122440kkk1234A4、向量组的线性相关性问题等价于齐次线性方程组是否有非零解。方程组的系数矩阵用矩阵初等行变换求rankA即可进行判断。此外，本题也可以用系数行列式是否等于零判断。28/68例5112223111,,,,,sssssβααβααβααβαα12,,,(2)ssααα已知向量组线性无关,设讨论12,,,sβββ的线性相关性.分析：0112111sssskkkkkk)()()(0001211ssskkkkkk4、向量组的线性相关性11220sskkk设,需要判断所有ki是否全部为零。将已知条件代入并整理得：12s,,,已知线性无关，故：再分析这个方程组是否有非零解即可。29/68已知向量组线性无关，试证向量组也线性无关。练习(1)因为1，2的坐标不是对应成比例的,所以线性无关.123，，练习判定以下向