2010高考数学《圆锥曲线于方程》专题学案椭圆

高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-1-第1课时椭圆1．椭圆的两种定义(1)平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于21FF)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．(2)椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e，且e的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的，定直线l是，常数e是．2．椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222byax，其中(0，且2a)(2)焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222bxay，其中a，b满足：．（3）焦点在哪个轴上如何判断？3．椭圆的几何性质(对12222byax,ab0进行讨论)(1)范围：≤x≤，≤y≤(2)对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3)顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4)离心率：e(与的比)，e，e越接近1，椭圆越；e越接近0，椭圆越接近于．(5)焦半径公式：设21,FF分别为椭圆的左、右焦点，),(00yxP是椭圆上一点，则1PF，122PFaPF=。4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1)定义：r1＋r2＝2a(2)余弦定理：21r＋22r－2r1r2cos＝(2c)2(3)面积：21FPFS＝21r1r2sin＝21·2c|y0|(其中P(00,yx)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)基础过关高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-2-变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆12222byax（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知|OA|=.)(221||211raraPF故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。例3.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F与抛物线24yx的焦点重合，过1F的直线l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x轴垂直时，22CDAB．（1）求椭圆的方程；（2）求过点O、1F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（3）求22FAFB的最大值和最小值．解：（1）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F．设椭圆的方程：)0(12222babyax．解方程组241yxx得C（-1，2），D（1，-2）．由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴11||||22||||FCCDFAAB，12||2FA，∴2(1,)2A．…………2分∴221112ab又1222cba，因此，2211112bb，解得21b并推得22a．典型例题高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-3-故椭圆的方程为2212xy．…………4分（2）2,1,1abc，圆过点O、1F，圆心M在直线12x上．设1(,),2Mt则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，∴13()(2).22r由,OMr得2213(),22t解得2.t所求圆的方程为2219()(2).24xy…………………………8分（3）由12(1,0),(1,0)FF点①若AB垂直于x轴，则)22,1(),22,1(BA，2222(2,),(2,)22FAFB，2217422FAFB…………………………………………9分②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为)1(xky由022)1(22yxxky得0)1(24)21(2222kxkxk0882k，方程有两个不等的实数根．设),(11yxA，),(22yxB.2221214kkxx,222121)1(2kkxx………………………………11分),1(),,1(222112yxBFyxAF高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-4-)1)(1()1)(1()1)(1(21221212122xxkxxyyxxBFAF22122121))(1()1(kxxkxxk22222221)214)(1(21)1(2)1(kkkkkkk=)21(29272117222kkk12110,121,0222kkk]27,1[22BFAF，所以当直线l垂于x轴时，BFAF22取得最大值27当直线l与x轴重合时，BFAF22取得最小值1变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W.(1)求W的方程；(2)经过点（0,2）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（3）已知点M（2，0），N（0,1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OPOQ与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)设C（x,y）,∵222ACBCAB＋,2AB,∴222ACBC,∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点.∴2,=1ac.∴2221bac.∴W:2212xy(0)y.…(2)设直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程，得22(2)12xkx.整理，得221()22102kxkx.①因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于222184()4202kkk，解得22k或22k.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-5-yxOCBAMF∴满足条件的k的取值范围为22,)(,)22k（（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OPOQ＝（x1+x2，y1+y2),由①得1224212kxxk.②又1212()22yykxx③因为(2,0)M，(0,1)N，所以(2,1)MN.………所以OPOQ与MN共线等价于1212()xxyy=-2.将②③代入上式，解得22k.所以不存在常数k，使得向量OPOQ与MN共线.例4.已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为63，两条准线间的距离为6.椭圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C.（1）求椭圆W的方程；（2）求证：CFFB(R)；（3）求MBC面积S的最大值.解：（1）设椭圆W的方程为22221xyab，由题意可知22226,3,26,caabcac解得6a，2c，2b，所以椭圆W的方程为22162xy．……………………………………………4分（2）解法1：因为左准线方程为23axc，所以点M坐标为(3,0).于是可设直线l的方程为(3)ykx．高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-6-22(3),162ykxxy得2222(13)182760kxkxk.由直线l与椭圆W交于A、B两点，可知2222(18)4(13)(276)0kkk，解得223k．设点A，B的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy,则21221813kxxk，212227613kxxk，11(3)ykx，22(3)ykx．因为(2,0)F，11(,)Cxy，所以11(2,)FCxy，22(2,)FBxy.又因为1221(2)(2)()xyxy1221(2)(3)(2)(3)xkxxkx1212[25()12]kxxxx2222541290[12]1313kkkkk2222(5412901236)013kkkkk，所以CFFB．……………………………………………………………10分解法2：因为左准线方程为23axc，所以点M坐标为(3,0).于是可设直线l的方程为(3)ykx，点A，B的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy,则点C的坐标为11(,)xy，11(3)ykx，22(3)ykx．由椭圆的第二定义可得22113||||||3||xyFBFCxy,所以B，F，C三点共线，即CFFB．…………………………………10分高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-7-(3)由题意知1211||||||||22SMFyMFy121||||2MFyy121|()6|2kxxk23||13kk33312233||||kk，当且仅当213k时“=”成立，所以MBC面积S的最大值为32．变式训练4：设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值；（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）易知)0,1(),0,1(,1,2,521FFcba设P（x，y），则1),1(),1(2221yxyxyxPFPF3511544222xxx]5,5[x，0x当，即点P为椭圆短轴端点时，21PFPF有最小值3；当5x，即点P为椭圆长轴端点时，21PFPF有最大值4（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为)5(xky由方程组2222221(54)5012520054(5)xykxkxkykx，得高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-8-依题意25520(1680)055kk，得当5555k时，设交点C),(),(2211yxDyx、，CD的中点为R),(00yx，则45252,4550222102221kkxxxkkxx.4520)54525()5(22200kkkkkxky又|F2C|=|F2D|122RFkklRF12042045251)4520(0222222kkkkkkkkkRF∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭