(文献翻译)凹函数的一种等价性定义与判定定理_张武军,魏保军

AnequivalentdefinitionanddecisiontheoremofconcavefunctionWeiBaojun,ZhangWujun(InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450002,Henan)Abstract:inviewofthedeficiencyofthedefinitionofconcavefunction,anewdefinitionofthedefinitionoftheconvexfunctionisgiven.Necessaryandsufficientconditionsareobtained,andasufficientconditionfortheconvexityandconvexityofaweakjudgmentfunctionisobtained.Keywords:concavefunction;leftandrightderivative;decisiontheoremNo.inthechartclassification:O172documentcode:Aarticlenumber:1001-6600(2010)02-0027-03Theconcaveandconvexfunctionisakindofimportantfunction,butitsdefinitionisdifferentindifferentbooks.Thereare3kindsofdefinitions.[1-3].Definition11,2xxI，12xxand,(0,1)t,hangthere1212((1))()(1)()ftxtxtfxtfx,hangthere()fx,thensaidIIntheintervalisaconcavefunction(somebookscalledstrictlyconcavefunction).。Define2[3]()fxInintervalIUppercontinuous,,IInsidecanguide,inITakealittleinside0x,Curve()yfxstay0,0(())xfxThetangentatthebottomofthecurve,the()fxInintervalIIsaconcavefunction.。Thatdefinition2anddefinition1andliterature[2]concavefunctiondefinitionsarenotequivalent.Asakindoffunctiondefinition,shouldmeetthedefinitionofvariousformsareequivalenttoeachother.Therefore,wetrytogiveadefinitionofequivalencebythesecondformaldefinitionofconcavefunction.1EquivalenceoftwodefinitionsofconcavefunctionLemma1iffunction()fxIninterval[,]abUppercontinuous,in(,)abMemoryontherightsideofthederivativeand()0fx(Orthereisaleftderivativeand()0fx,then()fxstay[,]abIncreasedmonotonically.。ProvedTakeany,(,)cdab,Set.cd,Bythefinitecoveringtheorem,wecanknowthat[,]cdAfiniteopencover{,,0,1,,}iiHxxWinSatisfied:(,)iixxxWWhen,,()()ifxfx,Amongthem1ncxxd。Thusobtained:()()fcfd。whencaordbtime,,bythecontinuityofthesamecertificate()()fcfd,Therefore,()fxstay[,]abIncreasedmonotonically.。Lemma2function()fxIsintervalIThenecessaryandsufficientconditionoftheconcave：()fxInintervalIUppercontinuous,,yesIinnerarbitrary,(),()xfxfxBothexistenceandmonotoneincreasing.。ProvedNeedalittle[4].充分性任取12,,xxI,且12xx,令211121()()()()()()fxfxFxfxfxxxxx,由引理1可知:必有12()0,()0FxFx定义12sup{|()0,[,]}axFxxxx,可以证明当1(,]xxa或2[,)xax时,()0Fx。从而对(0,1)t,恒有12((1))0Ftxtx,所以1212((1))()(1)()ftxtxtfxtfx.故()fx是区间I上的凹函数。引理3[5]若()fx是区间I上的凹函数,则()fx在I内几乎处处可导。根据引理3,我们给出与凹函数的定义1等价的定义3。定义3()fx在区间I上连续,任取区间JI,对应于J的曲线()yfx上,总存在不垂直于x轴的切线,且切线位于曲线的下方,则称()fx在区间I上是凹函数。定理1区间I上的凹(凸)函数的定义1、3等价。证明若()fx是由定义1确定的区间I上的凹函数,则由引理3可知:任取区间JI,函数()yfx在区间J内总存在可导点0x,故曲线()yfx上总存在不垂直x轴的切线,其方程为:000()()()yfxxxfx。任取xI,不妨设0xx.任取10(,)xxx,由定义1,可得:1000011000()()()()()()limxxfxfxfxfxfxfxxxxx。故000()()()()fxfxxxfx,即切线位于曲线的下方。另外,由引理2可知()fx在I上连续,所以根据定义3,()fx是区间I上的凹函数。若()fx是由定义3确定的区间I上的凹函数,任取1,2xxI,不妨设12xx,对于1,2()xx内()fx的任一可导点0x,根据定义3可得:01212()((1))()(1)()fxftxtxtfxtfx,其中2021(0,1)xxtxx(1)若()fx在0x点不可导,必存在102(,)axx,使得()fx在1a点可导。同理在区间010+a(2xx，）内存在可导点2a,依此类推可知:存在12(,)naxx,满足:1)()fx在12(,)naxx可导;2)0limnnax。由式(1)知:01212()((1))()(1)()nnnnfaftxtxtfxtfx,其中2021nxatxx。因为()fx在区间I上连续,对上式两边求极限,得:01212()((1))()(1)()fxftxtxtfxtfx,其中2021limnnxxttxx(2)定义函数211121()()()()()fxfxFxfxfxxxxx（）,则12()()0FxFx。对于上述点0x,存在02(,)xxx,其中()fx在x可导。根据式(1)、(2)可得:0010012()()(1)()(1)(()(1)()0FxtFxtFxttFxtFx,其中020211,xxxxttxxxx。从而可得:12012((1))()()(1)()ftxtxfxtfxtfx,故根据定义1,()fx也是凹函数。2判断凹函数的充分条件一般来说,根据定义判断函数的凹凸性比较困难,故人们通常利用二阶导函数的符号判断函数的凹、凸性,但这一判断方法条件较强,限制了其适用范围,为此我们给出以下改进的判断定理。定理2若()fx在区间I上连续,I内具有连续的导函数,且至多除,1,2,naIn外,()0fx,则()fx是区间I上的凹函数。证明根据引理2,只需证明()fx在I内单调递增。否则,至少存在1212,,xxIxx,满足:12()()fxfx。记11,2sup{|()(),[]}axfxfxxxx,由()fx的连续性,易证必有:1()()fafx且当,2(]xax时12()(),xaxfxfa（），。若{}naa,则,()()()lim0xafxfafaxa,矛盾。若{}naa,对于2((),())cfxfa且{()}ncfa,由介值定理知:存在,2()bax使得()fbc,记,2sup{|()(),[]}axfxfbxbx,同样可证()0fa,矛盾。所以()fx是区间I上的凹函数。根据引理2,若()fx是区间I上的凹函数,()fx单调递增,()fx在每点的左右极限都存在,考虑到()fx应该几乎处处可导,我们还可以得到更弱条件下的判定定理。定理3若()fx在区间I上连续,其导函数满足:①对于I的任意有限子区间(,),()abfx在(,)ab内只有有限个第一类间断点ib,且()(),1,2,,iifbfbim;②至多除,1,2,naIn外,()0fx,则()fx是区间I上的凹函数。证明根据引理2,只需证明()fx在I上单调递增。任取1212,,xxIxx,若()fx在12[,]xx内只有一个第一类间断点b,则有()(0),()(0)fbfbfbfb。定义()()(0)fbfbfb,由定理2的证明可知()()fxfx在1[,]xb上单调递增;同理可证()fx在2[,]bx上也单调递增。从而可得:12()()fxfx。若()fx在12[,]xx内有有限个第一类间断点ib,类似的可证明结论也成立。同理可证()fx在区间I上也单调递增,因此()fx是区间I上的凹函数。推论若()fx在区间I上连续,其导函数满足:①对于I的任意有限子区间(,),()abfx在(,)ab内只有有限个第一类间断点(1,2,,)bim,且至少存在kb,满足()()kkfbfb;②至多除,1,2,naIn外,()0fx,则()fx不是区间I上的凹函数。根据定理3的证明可得,()fx在I的某个子区间上非单调递增,故()fx不是区间I上的凹函数。根据上述定理及推论,可判断0()()xfxgtdt在区间(0,1)内是凹函数,其中21sin(),0,0xxgxxoxx。而22,()2,0xxofxxxx在区间(,)内不是凹函数。reference:[1]LiChengzhang,HuangYumin.Mathematicalanalysis[M].Beijing:ScienceandTechnologyPress,2004[2]DepartmentofAppliedMathematics,TongjiUniversity,advancedmathematics[M.Beijing:HigherEducationPress,2007[3]Departmentofmathematics,EastChinaNormalUniversity.Mathematicalanalysis[M.Shanghai:HigherEducationPress,1980[4],SunBenwang,JiangHao.Typicalexamplesandsolvingmethodsin