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1、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.(1)求证:DC=BC;(2)E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状,并证明你的结论;(3)在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值.[解析](1)过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以212DM.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明:因为,,DEDFEDCFBCDCBC.所以,△DEC≌△BFC所以,,CECFECDBCF.所以,90ECFBCFBCEECDBCEBCD即△ECF是等腰直角三角形.(3)设BEk,则2CECFk,所以22EFk.因为135BEC,又45CEF,所以90BEF.所以22(22)3BFkkk所以1sin33kBFEk.2、已知:如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.[解析](1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD.∵点E、F分别是AB、CD的中点,∴AE=21AB,CF=21CD.∴AE=CF∴△ADE≌△CBF.(2)当四边形BEDF是菱形时,四边形AGBD是矩形.EBFCDA∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵AG∥BD,∴四边形AGBD是平行四边形.∵四边形BEDF是菱形,∴DE=BE.∵AE=BE,∴AE=BE=DE.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴2∠2+2∠3=180°.∴∠2+∠3=90°.即∠ADB=90°.∴四边形AGBD是矩形3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.(1)如图13-2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.[解析](1)BM=FN.证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠F=45°,OB=OF.又∵∠BOM=∠FON,∴△OBM≌△OFN.∴BM=FN.(2)BM=FN仍然成立.(3)证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF.∴∠MBO=∠NFO=135°.又∵∠MOB=∠NOF,∴△OBM≌△OFN.∴BM=FN.图13-2EABDGFOMNC图13-3ABDGEFOMNC图13-1A(G)B(E)COD(F)4、如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。(1)若sin∠BAD35,求CD的长;(2)若∠ADO:∠EDO=4:1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留)。[解析](1)因为AB是⊙O的直径,OD=5所以∠ADB=90°,AB=10在Rt△ABD中,sin∠BADBDAB又sin∠BAD35,所以BD1035,所以BD6ADABBD22221068因为∠ADB=90°,AB⊥CD所以DEABADBDCEDE··,所以DE1086所以DE245所以CDDE2485(2)因为AB是⊙O的直径,AB⊥CD所以CBBDACAD⌒⌒⌒⌒,所以∠BAD=∠CDB,∠AOC=∠AOD因为AO=DO,所以∠BAD=∠ADO所以∠CDB=∠ADO设∠ADO=4x,则∠CDB=4x由∠ADO:∠EDO=4:1,则∠EDO=x因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°所以4490xxx所以x=10°所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°所以∠AOC=∠AOD=100°SOAC扇形10036051251825、如图,已知:C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.(1)求证:点F是BD中点;(2)求证:CG是⊙O的切线;(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.[解析](1)证明:∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF∴FDCEAFAEBFEH,∵HE=EC,∴BF=FD(2)方法一:连接CB、OC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°∵F是BD中点,∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′方法二:可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)(3)解:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC可证得:FA=FG,且AB=BG由切割线定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2○1在Rt△BGF中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2○2由○1、○2得:FG2-4FG-12=0解之得:FG1=6,FG2=-2(舍去)∴AB=BG=24∴⊙O半径为226、如图,已知O为原点,点A的坐标为(4,3),⊙A的半径为2.过A作直线l平行于x轴,点P在直线l上运动.(1)当点P在⊙O上时,请你直接写出它的坐标;(2)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与⊙A的位置关系,并说明理由.[解析]解:⑴点P的坐标是(2,3)或(6,3)⑵作AC⊥OP,C为垂足.∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠1∴△ACP∽△OBP∴ACAPOBOP在OBPRt中,22153OPOBBP,又AP=12-4=8,∴83153AC∴AC=24153≈1.94∵1.942∴OP与⊙A相交.7、如图,延长⊙O的半径OA到B,使OA=AB,DE是圆的一条切线,E是切点,过点B作DE的垂线,垂足为点C.求证:∠ACB=31∠OAC.[解析]证明:连结OE、AE,并过点A作AF⊥DE于点F,(3分)∵DE是圆的一条切线,E是切点,∴OE⊥DC,又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB,∠2=∠3.∵OA=OE,∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A是OB的中点,∴点F是EC的中点.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=31∠OAC.8、如图1,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为60.⑴求AO与BO的长;⑵若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.①如图2,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米;②如图3,当A点下滑到A’点,B点向右滑行到B’点时,梯子AB的中点P也随之运动到P’点.若∠POP’=15,试求AA’的长.CABDOE[解析]⑴AOBRt中,∠O=90,∠α=60∴,∠OAB=30,又AB=4米,∴122OBAB米.3sin604232OAAB米.--------------(3分)⑵设2,3,ACxBDx在CODRt中,232,23,4OCxODxCD根据勾股定理:222OCODCD∴222232234xx-------------(5分)∴21312830xx∵0x∴0381213x∴831213x-------------(7分)AC=2x=1632413即梯子顶端A沿NO下滑了1632413米.----(8分)⑶∵点P和点P分别是AOBRt的斜边AB与''OBARt的斜边''BA的中点∴POPA,OPAP'''-------------(9分)∴,PAOAOPPAOAOP-------(10分)∴PAOPAOAOPAOP∴15PAOPAOPOP∵30PAO∴45PAO-----------------------(11分)∴2cos454222AOAB-----(12分)∴(2322)AAOAAO米.--------(13分)9.(重庆,10分)如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似?(3)当t为何值时,△APQ的面积为524个平方单位?解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b由题意,得b=680kb解得346kb所以,直线AB的解析式为y=-43x+6.(2)由AO=6,BO=8得AB=10所以AP=t,AQ=10-2t1°当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB.所以6t=10210t解得t=1130(秒)2°当∠AQP=∠AOB时,△AQP∽△AOB.所以10t=6210t解得t=1350(秒)(3)过点Q作QE垂直AO于点E.在Rt△AOB中,Sin∠BAO=ABBO=54在Rt△AEQ中,QE=AQ·Sin∠BAO=(10-2t)·54=8-58t所以,S△APQ=21AP·QE=21t·(8-58t)=-254t+4t=524解得t=2(秒)或t=3(秒).(注:过点P作PE垂直AB于点E也可,并相应给分)点拨:此题的关键是随着动点P的运动,△APQ的形状也在发生着变化,所以应分情况:①∠APQ=∠AOB=90○②∠APQ=∠ABO.这样,就得到了两个时间限制.同时第(3)问也可以过P作PE⊥AB.10.(南充,10分)如图2-5-7,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,对角线AC上有一个动点P(不包括点A和点C).设AP=x,四边形PBCD的面积为y.(1)写出y与x的函数关系,并确定自变量x的范围.(2)有人提出一个判断:“关于动点P,⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”.请你说明此判断是否正确,并说明理由.解:(1)过动点P作PE⊥BC于点E.在Rt⊿ABC中,AC=10,PC=AC-AP=10-x.∵PE⊥BC,AB⊥BC,∴⊿PEC∽⊿ABC.故ACPCABPE,即.548,10108xPExPE∴⊿PBC面积=.5122421xBCPE又⊿PCD面积=⊿PBC面积=.51224x即yx52448,x的取值范围是0<x<10.(2)这个判断是正确的.理由:由(1)可得,⊿PAD面积=.512x⊿PBC面积与⊿PAD面积之和=24.点拨:由矩形的两边长6,8.可得它的对角线是10,这样PC=10-x,而面积y是一个不规则的四边形,所以可以把它看成规则的两个三角形:△PBC、△PCD.这样问题就非常容易解决了.
本文标题:2011中考数学超好几何证明压轴题汇编
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