(留数在积分计算中的应用)

毕业论文学生姓名吕爱涛学号161101071学院数学科学学院专业数学与应用数学题目留数在积分计算中的应用指导教师王爱峰2015年3月淮阴师范学院毕业论文（设计）1摘要：本文主要研究了留数在一些积分计算中的应用，利用留数的性质以及它与积分的关系，我们可以通过将一些复杂的积分计算转化成留数计算，从而简化计算.关键词：奇点，泰勒级数，洛朗级数淮阴师范学院毕业论文（设计）2Abstract：Thispapermainlystudiestheapplicationofcalculationofresiduesinsomeintegral,byusingtheresiduepropertiesanditsrelationshipwiththeintegral,wecanthroughsomeofthecomplexintegralcalculationistransformedintothecalculationofresidues,thussimplifyingthecalculation.Keywords：Thesingularity,Taylorseries,Laurentseries淮阴师范学院毕业论文（设计）3目录1前言...........................................................42留数的定义.....................................................42.1对不含参数的矩阵进行初等变换.................................42.2对含参数的特征矩阵进行初等变换.............错误!未定义书签。2.3对含参数的特征矩阵进行对称变换.............错误!未定义书签。3运用矩阵的乘法和初等变换化二次型为标准型.......错误!未定义书签。结论.............................................................7参考文献.........................................................8致谢词...........................................................9淮阴师范学院毕业论文（设计）41前言留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念.是解析函数)(zf沿一条正向简单闭曲线的积分值.2.1留数的定义定义3.21设)(zf在||zR内解析，是)(zf的孤立奇点，C为圆环域||zR内绕0z的任一正向简单闭曲线，则积分：dzzfC1)(i21与C无关，称此积分值为)(zf在的留数，记为]),([eszfR，即dzzfizfRC1)(21]),([es.若)(zf在||zR的洛朗展开式为CzCzCzCzm0111)(f则有1)(21]),([esCdzzfizfRC即)(zf在点的留数等于其在||zR内洛朗级数中1z的系数相反数.2.2留数第一定理定理3.1[2]函数)(zf在区域D内除有限个孤立奇点n321ZZZZ，，，外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则：nkkCzzfsidzzf1]),([Re2)(.)(zf在的留数与有限孤立奇点的留数有以下的定理2.3留数第二定理定理3.2[3]设函数)(zf在扩充复平面除有限个孤立奇点nzz,,z21及外处处解析，则)(zf在所有奇点处的留数和为零，即淮阴师范学院毕业论文（设计）5n10]),([Re]),([Rekkzfszzfs.由上面的定理，求函数)(zf沿闭曲线C的积分，转化为求被积函数)(zf在C内各孤立奇点的留数和.而求)(zf在孤立奇点的留数，只需在孤立奇点的去心邻域内将)(zf展开成洛朗级数即可，但这样做，总不是很好的办法，若能知道孤立奇点的类型，就可以更有效地求出留数.3留数在实变函数积分计算中的应用及例题分析3.1计算20I=Rcossinzd（，）类型的积分令iz=e，所以有1cos2zz，1sin2zzi，z=izdd，则可以将三角积分转化为复变函数的回路积分：-1-1|z|=1z+zz-zz=R22iizd，(1)例题1：计算20I=1+cosdxx（0）解：根据公式（1）12|z|=1|z|=12I=212dzizdzzzizz，由于22||121zdzizz所以：2222I11ii.3.2计算-xdx类型的积分，积分区间为(,)如果复变函数)(zf在实轴上没有奇点，在上半平面除了有限个奇点外是解析的，那么当z在上半平面及实轴时，()zz一致0.如果)(zf是有理分式xx，上述条件说明了()x没有实数零点，()x的次数至少比()x高两次.这类积分可以理解为下列极限:2112I=limRRRRxdx(2)当12RR极限存在，则该极限便称作积分-()xdx的主值，记作-()lim()RRRxdxxdx(3)淮阴师范学院毕业论文（设计）6那么，可以构建一个半圆形回路lR-Rzz=()zRlcdxdxdz(4)根据留数定理，(4)即为:R-R2{()}zz=()zRlcizldxdxdz在所围成的半圆内各奇点的和.(5)令R，(5)的左边趋于2{()}iz在上半平面所有奇点的和，右边第一个等级分趋于定积分()xdx，第二个定积分趋于0.证明如下：因为|z||zz|zRRccdzdz|||zz|||Rcdzzmax|()|RzzRmax|()|0zz其中max|()|zz是|()|zz在Rc的最大值，因为已知|()|0zz.故有()2{()}xdxiz在上半平面所有奇点的和.(6)例题2:计算+2-1+dxx解:21z=()()1+zzizi它有单极点i，其中+i在上半平面，可知11Res()lim[()()]lim2ziziizizzii利用求得的结论公式(6)，可得+2-12{}1+2dxixi.3.3计算淮阴师范学院毕业论文（设计）7结论用正交变换的方法化二次型为标准型的问题一直是我们一直关注的问题，但是由于利用传统的施密特正交化方法求出正交变换的矩阵，过程比较繁琐，所以如何简洁，方便的求出正交变换的矩阵显得越来越重要.本文通过对这个问题的初步探索，运用矩阵的初等变换，矩阵的乘法以及相关的知识对求解的合理性和具体的求解步骤进行叙述与分析，并且在理论的基础上给出了这些方法具体的运用实例，凸显了这些方法化二次型为标准型的简洁性和程序化的优点，具有重要的意义和作用.淮阴师范学院毕业论文（设计）8参考文献[1]谭坚.用正交变换化实二次型为标准型方法的探讨[J].长沙大学学报，1996:1-2.[2]李延敏，张力.用正交变换化实二次型为标准型的同步求解问题[M].大学数学，2011:1-2.[3]付立志，杨庆玺.对称矩阵对角化的正交变换模型[M].河南科学，2008:4-6.[4]程李晴，朱永娥.化二次型为标准型中正交变换的一种新方法[J].新乡师范高等专科学校学报，2007:1-2.[5]刘敬，用正交变换化二次型为标准型的初等变换方法[M].辽宁工学院学报，2000:1-2.[6]苏燕玲，张瑞平.由施密特正交化法得到的两个结论[M].陕西师范大学学报（自然科学版），1999:3-4.淮阴师范学院毕业论文（设计）9致谢本设计的完成是在我们的导师张海辉老师的细心指导下进行的，在每次设计遇到问题时张老师不辞辛苦的讲解才使得我的设计顺利的进行.从设计的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，花费了张老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心地感谢！导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使我受益终生.此外我还要感谢和我同一设计小组的几位同学，是你们在我平时设计中和我一起探讨问题，并指出我设计上的误区，使我能及时的发现问题将设计顺利的进行下去，没有他们的帮助我不可能这样顺利地结稿，在此我表示深深的谢意！