006理力-刚体的基本运动.

12§6–1刚体的平行移动§6–2刚体绕定轴的转动§6–3转动刚体内各点的速度和加速度§6–4轮系的传动比§6–5以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度第六章刚体的简单运动3第六章刚体的简单运动[例]是指刚体的平行移动和定轴转动。简单运动刚体的平行移动和定轴转动是刚体最简单的两种运动形式，也是研究复杂运动的基础。下面，我们首先研究刚体的平行移动，然后再讨论刚体的定轴转动。4OB作定轴转动，CD作平动AB、凸轮均作平动由于研究对象是刚体，所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小，又由于刚体是几何形状不变体，所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定，只要根据刚体的各种运动形式，确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。§6-1刚体的平行移动5)0dd(dd)(ddddttttABAAABABBrvrrrrv一.刚体平动的定义刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。由A、B两点的运动方程式而(t)rr(t),rrBBAAABABrrrAAABABBtttarrrra:222222dd)(dddd同理[例]AB在运动中方向和大小始终不变。它的轨迹可以是直线可以是曲线6二.刚体平动的特点刚体平动时，在同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。因此，研究刚体的平动时，只需分析刚体上任意一点的运动，即可确定刚体上其余各点的运动状态。即：平动刚体的运动，可以简化为一个点的运动。[例1]荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为l，O1O2＝AB。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为，其中t为时间。试求荡木中点M的速度、加速度的表达式。0πsin4t7解：由于钢索O1A和O2B等长且O1O2＝AB，于是O1ABO2为平行四边形。AB在运动过程中始终与OlO2平行，也就是始终平行于它自身原来的位置，所以，荡木的运动为平行移动。由于平动刚体上各点的速度、加速度相同，因此，只需求出A点(或B点)的速度和加速度即可。显然，A点的运动是以O1为圆心、l为半径的圆周运动。取最低点O为原点，并规定弧坐标s向右为正，则A点沿轨迹的运动方程为：0πsin4sllt8A点的速度大小为A点的切向加速度大小为A点的法向加速度大小为0π4dsvldtπcos4t2202dπd14saltπsin4t2220π16nval2πcos4t以上A点的速度、切向加速度和法向加速度，亦即荡木中点M的速度、切向加速度和法向加速度。9§6-2刚体绕定轴的转动一.刚体定轴转动的特征及其简化特点：有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平面上做圆周运动。二.转角和转动方程——转角，单位弧度(rad)=f(t)——为转动方程方向规定：从z轴正向看去，逆时针为正；顺时针为负。10三.定轴转动的角速度和角加速度1.角速度：工程中常用单位：n=转/分（r/min）则n与w的关系为:)nnn(rad/s1030602w)(:tfw则单位rad/s若已知转动方程f(t))(ddΔΔlim:0Δ代数量定义wttt112.角加速度:设当t时刻为w,t+△t时刻为w+△w与w方向一致为加速转动，与w方向相反为减速转动。3.匀速转动和匀变速转动当w=常数，为匀速转动；当=常数，为匀变速转动。wwwww221202200ttt常用公式与点的运动相类似。)(lim:220tfdtddtdttww角加速度单位：rad/s2(代数量)12w、对整个刚体而言(各点都一样)；v、a对刚体中某个点而言(各点不一样)。tstsvtΔΔlimdd0ΔRtRvtwΔΔlim0ΔRvw(即角量与线量的关系)§6-3转动刚体内各点的速度和加速度一.线速度v和角速度w之间的关系13RRtRttvawwdd)(dddd222)(wwRRRvan4222||||wRaannaaa全22tgwwRRaan二.角加速度与an、a的关系14结论:①v方向与w相同时为正，vR，且与R成正比。②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角都一致,且小于90o,在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:各点速度分布图各点加速度分布图15[例2]一个绕O轴转动的皮带轮，某瞬时轮缘上点A的速度为VA=50cm/s，加速度为aA=150cm/s2，轮内另一点B的速度为VB=10cm/s，已知OA－OB=20cm，试求此瞬时皮带轮转动的角速度和角加速度，以及B点的加速度。解：5BABAVVOBOAOBVOAV即，wcm20OBOA又162222222222cm/s510cm/s20rad/s5225100150)(cm/s100rad/s2cm5cm25OBaOBaOAaaaOAaOBOABnBnAAAnAwww，，，又，，B点的加速度还可用加速度分布规律来求解，2cm/s30150255ABABaOAOBaOAOBaa17[例3]飞轮半径R=0.5m，由静止开始转动，其转动规律为，其中c为常数，已知t=5秒时，轮缘上一点的速度为V=20(m/s)，试求当t=10秒时，该点的速度和加速度。解：)(rad/s52tc)55ln(d5dd55d5dd00tcttctctcttw积分：；，18当t=5秒时，V=20(m/s)，即故当t=10秒时，飞轮的角速度为该点的速度为该点的切向加速度为该点的法向加速度为72.57)55ln(s)(rad/405.020tcRVww，于是可得(rad/s)4.63)5105ln(72.57)55ln(tcw(m/s)7.314.635.0wRV)(m/s92.110572.575.052tcRRaτ)(m/s20104.635.0222wRan19我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速，它们变速的基本原理是什么呢?§6-4轮系的传动比一.齿轮传动∵齿轮是做纯滚动(即没有相对滑动)定义齿轮传动比EFEFFEEFZZrriwwEFvvEFvvEEFFrrww1.内啮合20DDCCDCDCrrvvwwvvCDCDDCCDzzrriwwtrz2齿数EFEFEFzztrtrrr/2/22.外啮合21由于转速n与w有如下关系：成正比2121602nnnwww从动轮主动轮即121221212,1:zzrrnniww显然当：时，，为升速转动；时，，为降速转动。1||2,1i12ww1||2,1i12ww22三.链轮系设有：A、B、C、D、E、F、G、H为轮系，则总传动比为：二.皮带轮系传动BAvv(而不是方向不同)BAvvBBAArrww皮带传动ABBAABrriww23其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。HGGFFEEDDCCBBAmHGGFFEEDDCCBBAmHAHAiiiiiiii,,,,,,,,)1()1([例4]绕于半径为r的鼓轮上的绳子下挂一重物B，该重物由静止开始以等加速度a向下作直线运动，如图所示。该鼓轮固连一节圆半径为r1的齿轮1，齿轮l与节圆半径为r2的齿轮2啮合，求齿轮2的转动方程。解：鼓轮边缘上任一点的切向加速度和重物B的加速度大小相等，因此鼓轮的角加速度为rara由于齿轮1与鼓轮固连，所以两者的角加速度相等，即。而齿轮2的角加速度为=常数1rrarrr21121225由此可见，齿轮2的运动为匀加速转动，由积分后得再积分得tdd22w0222ddwwtt0022221wtt式中、分别为齿轮2的初始转角和初始角速度。设＝0，依题意又有＝0，所以齿轮2的转动方程为00w00w22221t即22122trrar26§6–5以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度一.以矢量表示角速度和角加速度|dd|||tω大小：kωw方向如图，kkωεwttdddd按右手定则规定、的方向。w27二.以矢积表示点的速度和加速度wwwwRrrRvsin||sinrωvrωttttddddd)d(ddrωrωrωvavωrεaRvRron290sin||||sin||wwvωarεaravanwrεarωvvωan28一.基本概念和基本运动规律及基本公式1.基本概念（1）直线运动、曲线运动(点的运动学);（2）平动、定轴转动(刚体的基本运动)。2.基本运动规律与公式第五章点的运动学、第六章刚体的简单运动习题课29dtdva点的运动加速度aanavs匀速000匀变a=C0a=C直线运动变速0匀速0匀变a=C曲线运动变速tvaddCvvttfs)(atvv02021attvstadtvv00tvdts0tvadd2van2van2van2va22naaa2vaCvtavv0tdtavv00vts2021tatvstvdts030刚体定轴转动转动方程:角速度:)(tftddw22ddddttw角加速度:匀速转动:匀变速运动:tw0tww020021ttwww220231二.解题步骤及注意问题1.解题步骤:①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。②选好坐标系：直角坐标法，自然法。③根据已知条件进行微分，或积分运算。④用初始条件定积分常数。对常见的特殊运动，可直接应用公式计算。２．注意问题：①几何关系和运动方向。②求轨迹方程时要消去参数“t”。③坐标系（参考系）的选择。32三.例题[例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？解：由于是匀变速运动，则常量。由公式，而由已知asavv2202，m200ls33m/s3403600100048m/s,3253600100030m/s27.020029625160021022021vvsvva列车走上曲线时，全加速度列车将要离开曲线时，全加速度222002m/s23.0300)3/25(,m/s27.0Rvaan9249tg,m/s356.001022020nnaaaaa222112m/s593.0300)3/40(,m/s27.0Rvaan'111221213424tg,m/s652.0nnaaaaa34[例2]已知：重物A的加速度为2m/s1Aa（常数），初瞬时速度m/s5.10v，方向如图示。求：,m5.0Rm30.r①滑轮3s内的转数；②重物B在3s内的行程；③重物B在ｔ＝3s时的速度；④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。352rad/s25.01RaCrad/s35.05.1,m/s5.10RvvvCACw）常数（（），2sm1/aaAC解：①因为绳子不可以伸长，所以有转）(86.22,rad1832213321220wnttm4.5183.0