004第三章刚体的定轴转动.

第三章刚体的定轴转动（RotationofRigidBodyaboutaFixedAxis）§1刚体的平动、转动和定轴转动§2刚体的角动量转动动能转动惯量§3力矩刚体定轴转动定律§4定轴转动的动能定理§5刚体的自由度*刚体的平面平行运动§6定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律§7进动（自学）教学要求1.理解描述刚体定轴转动的基本物理量的定义和性质；2.理解力矩、转动动能和转动惯量的物理意义；3.掌握定轴转动的转动定律和角动量定理；4.掌握定轴转动的机械能守恒定律和角动量守恒定律。§1刚体运动的基本概念和研究方法1、刚体（rigidbody）一、几个概念在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体。说明：（1）.理想模型。（2）.在外力作用下，任意两点间均不发生位移。（3）.刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。有关质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。刚体平动时刚体内所有各点的运动都相同，因此刚体内任一点的运动都可以代表整个刚体的运动。刚体内任意一条给定的直线，在运动中始终保持它的方位不变。2.刚体的平动（translationofrigidbody）3.刚体的转动（rotationofrigidbody）刚体的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动。这一直线称为转轴。如果在运动中转轴的位置固定不动，则称为定轴转动。刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。定轴转动的特点：角位移，角速度和角加速度均相同；质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。二、研究刚体运动的方法演示：轮子的滚动=轴心的平动+绕轴心的转动一般地刚体运动=平动+转动运动叠加原理由于平动时刚体每一质点的运动都相同，质心的运动就可以代表整个刚体的运动。θiviO×ω,αriri定轴刚体zFimiΔ特点：各质点都绕同一直线作圆周运动。个别量：整体量：θ，ω,Δmiriviia三、描述刚体定轴转动的物理量1.参考平面：与转轴相垂直的平面。2.角位置，角位移yx0P(t)P(t+dt)d运动方程：角位置：位矢与ox轴夹角。角位移d：dt时间内角位置增量。)(t定轴转动只有两个转动方向。规定：位矢从ox轴逆时针方向转动时角位置为正，反之，为负。4.线量与角量的关系rv方向垂直和组成的平面vr2,rarant3.角速度和角加速度tdd2ttdddd2yx0vr例题一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4，式中a、b、c都是常量。求它的角加速度。324343)(ctbtactbtatdtd角加速度是角速度对t的导数，因此得232126)43(ctbtctbtadtddtda由此可见飞轮作的是变加速转动。解：飞轮上某点角位置可用表示为＝at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为§2刚体定轴转动的基本规律--转动定律一、决定转动状态变化的因素-----力矩（torqueormomentofforce)演示：以门为例1通过转轴平面的力对刚体转动无影响。2任一方向上的力都可以分解为通过转轴平面上的力和与该平面相垂直（即与转轴相垂直的平面上的切向力）的力之合成。3刚体转动状态的变化不仅与“切向力”的大小有关，而且与“切向力”的作用点到转轴的距离有关。实验发现：刚体转动状态的变化由“切向力”与距离的乘积决定。一、力矩定义力矩：FrM垂直和构成的平面。MFr或rFMtodPF2F1FFrrFFrrFMsinsin),sin(大小切向力力臂dtF方向Fr右手法则M是改变刚体运动状态的唯一原因。合力矩：21MMM2211dFdFMM只有两个方向，可用正、负表示。说明：与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。对定轴转动由牛顿第二定律推导出：JMztdLtJdMzzdd)(更普遍的表达式：二、转动定律说明：Mz,J,均对同一轴而言，且具有瞬时性；比较Mz=J和F=ma，表明改变刚体转动状态的是力矩；转动惯量是刚体转动惯性的度量。转动定律的推导：见教材P187-188多媒体演示：转动惯量三、转动惯量的计算1.离散分布的物体2iirmJ2.连续分布的物体mrJd23.平行轴定理2mhJJCB说明：两轴平行；JC为刚体绕质心轴的转动惯量；h为两平行轴间距离。hCB常用的几个J均匀圆环：Jc=mR2；均匀圆盘：均匀杆：Jmrrrrrrciiiiiiiiii22322rrrdrRiiRi330414JRmRc241242JmlJmlcA1121322，RmCCRmCCAml2l2已知：R=0.2m，m=1kg，vo=0，h=1.5m，绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落时间t=3s。求：轮对O轴J=？解：动力学关系：对轮：TRJ(1),对：mmgTma(2)转动定律应用举例定轴O·Rthmv0=0绳αTG·RNmgT=-T′ma例1运动学关系：aR(3)hat122(4)(1)~(4)联立解得：JgthmR()2221(..)..9832151102114222kgm分析：单位对；、一定，，合理；若，得，正确。1230122...hmJtJhgt例2一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m2，如图所示。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。解滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这边绳的张力为T1、T1’(T1’=T1)，物体2这边的张力为T2、T2’(T2’=T2)。因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2JMrTrTamTGamGT12222111式中ß是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即ra从以上各式即可解得mmmrMgmmrJmmrMgmmar21//121221212而mmmrMgmmmagmT21/212122111mmmrMgmmmagmT21/212121212＋－rmmmrMgmmra21/1212当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、m2、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。gmmmma1212gmmmmTT1221212AFcosr(FrcosM^^^^aa()WFsAMiii二.定轴转动动能定理MdLdtJddtzzz外类比一维情形：Fmdvdtddtvdsdt--AJJ1222121212一.力矩的功J--madzxω·轴rF§3力矩的空间累计效应F投影在转动平面上的分量dMA—力矩的空间积累效应令—转动动能EJk122（可证：）121222Jmvii则AEEkk21应用：▲飞轮储能，Ek2Ek……2222121iiiikrmvmE221JEk合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。---------定轴转动的动能定理三.定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：A外+A内非=（Ek2+Ep2）—（Ek1+Ep1）刚体重力势能：若dA外+dA内非=0，则Ek+Ep=常量。Emghmgmhmmghpiiiic×ChchimiΔEp=0[例]已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止，轴光滑，AOl4。求:杆下摆角后，角速度?解：杆地球系统，∵只有重力作功，∴E守恒。初始：，Ek10令EP10末态：EJko2212,EmglP24sin则：12402Jmglosin(1)由平行轴定理JJmdoc21124748222mlmlml()(2)由(1)、(2)得：267glsin§4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律现在讨论力矩对时间的积累效应。质点系：对点：MdLdt外，MtLLiii外21对轴：MtLLziiizz外21刚体：Lz=Jz\iMtJJziizz外21—刚体定轴转动的角动量定理当M外z=0时，Jz=const.大小不变正、负不变若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，当Mz外0时，Jconst.izi，这时角动量可在内部传递。说明：刚体角动量z0miivLiRri2iizrmL刚体对定轴的角动量：对z轴的分量LzLJLz1、定轴转动刚体的角动量定理tMzd将转动定律代入力矩的时间累计式中JMz有0)(0JJtMttzd2、定轴转动刚体的角动量守恒定律常量0)(JJLZ当0zM时，刚体受外力矩为零时，动量矩保持不变。即大小，正负（方向）均不变。小结：说明：1.动量矩保持不变是转动惯量与角速度的积不变；2.多物体组成的系统角动量的可叠加性；3.角动量守恒定律是一条普适定律。2211JJJ多媒体演示：角动量守恒§5质点的角动量和角动量守恒定律一、质点的角动量（动量矩）讨论：直线运动质点的角动量。PrL大小：方向：垂直和所组成的平面；单位：kg.m2.s1rPsinPrL0mPr二、角动量守恒定律由牛顿第二定律：FrFrvmvtPrPtrtPrtL)()(ddddddddMtLdd角动量定理：外力矩等于角动量对时间导数。当时，0M常矢量L对定点合外力矩为0，则质点对该点的角动量在运动过程中保持不变。角动量守恒定律：[例]如图示已知：M=2m，h，=60°求：碰撞后瞬间盘的0？P转到x轴时盘的=?a?解：m下落：mghmv122vgh2(1)碰撞t极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocos(2)JMRmRmR122222(3)由(1)(2)(3)得：oghR22cos(4)对m+M+地球系统，只有重力做功，E守恒，则：P、x重合时EP=0。令1mgRJJosin12222(5)由(3)(4)(5)得：ghRgR222cossin12243RghR.()()60oaMJmgRmRgR222§6质点在有心力场中的运动一、有心力力的作用线始终通过力心；力的大小只依赖质点到力心的距离。)cos1(pr二、质点在有心力场中运动的特点角动量守恒；机械能守恒；质点只在通过力心的平面内运动。三、质点在有心力场中运动的轨迹圆锥曲线为偏心率讨论：11，圆或椭圆；2.=1，抛物线；3.1，双曲线。§7刚体的自由度滚动问题（自学）一、刚体的自由度1.自由度：2.质点的自由度：3.刚体的自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。自由质点有3个自由度；限制在平面或曲面内运动的质点有2个自由度；若质点限制在一直线或曲线上运动，则质点有1个自由度。自由刚体