01电磁波第一章-矢量分析.

电磁场与波物理电子学院周俊第一章矢量分析第2页标量：只有大小就能确定的量，如T,m,V,t,U矢量：需要大小、方向才能完全确定的量，如矢量的几何表示：有方向的线段矢量的代数表示：第一节矢量代数1.1.1标量和矢量（ScalarandVector）一、标量和矢量AeAeAAAEasf、、、Easf、、、Easf、、、A电磁场与波第一章__矢量分析第3页矢量的大小或模：矢量的单位矢量：AAAAeA电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊第4页二、场的概念物理：某一物理量在空间的分布数学：在一个空间区域内和上定义的函数三、场的分类与表示1、静态场和动态场静态场：物理状态时间无关动态场(时变场)：物理状态与时间有关),,(zyxf),,,(tzyxf电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊第5页2、矢量场与标量场(静态场为例定义)①标量场：空间区域的每点对应一个数量值，它在此空间区域V上构成一个标量场，用点标量函数(数性函数)表示。标量场的自变量、因变量都是标量例如:温度场，密度场是标量场),,(zyxM),,(zyx),,(zyx),,(zyxM),,(zyx),,(zyxu),,(zyx电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊物理电子学院周俊第6页电磁场与波第一章__矢量分析第7页②矢量场：空间区域V的每点对应一个矢量值，它在此空间区域V上就构成一个矢量场，用点的矢量函数表示。矢量场自变量是标量，因变量是矢量例如:流速场、电场是矢量场),,(zyxM),,(zyxR),,(zyxM),,(zyxM),,(zyxv),,(zyxE电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊物理电子学院周俊第8页3、场的表示矢量，矢量场一个矢量场对应着三个标量场场的直观表示法：标量场的等值面(或等值线)矢量场的矢量线(又称流线和力线)zzyyxxFeFeFeF),,(),,(),,(),,(zyxFezyxFezyxFezyxFzzyyxx电磁场与波第一章__矢量分析第9页四、矢量与矢量场的不变特性标量函数和矢量函数其大小或方向与所选择的坐标系无关(t定)选择适当的坐标系圆柱坐标系直角坐标系),(cos)cossin()sin)(sincos()()(),(FeeeeexeyeyxFyx电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊第10页1.1.2矢量的加法和减法BA矢量的加法A＋BBA矢量的减法A－BBBABACACACB电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊第11页1.1.3矢量的乘法矢量的点积(标积):，cosABBAABBAcos上的投影：在ABABABcos0BABAABBABA//电磁场与波第一章__矢量分析BA矢量A与B的夹角BAA×B矢量A与B的叉积sinAB第12页矢量的叉积(矢积):，BACneABBAsin0//BABAABBABAABBA用坐标分量表示为:)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBA写成行列式形式为:zyxzyxzyxBBBAAAeeeBA电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()(——分配律——标量三重积——矢量三重积——分配律电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊第13页三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。电磁场与波第一章__矢量分析第二节常用的正交坐标系第15页1.2.1直角坐标系P点的位置用三个量x,y,z表示直角坐标中是常矢量矢量的表示：位移矢量：其微分:zyxeee,,zzyyxxAeAeAeAzeyexerzyxdzedyedxerdzyxA点(,,)Pxyzy常数（平面）xezeyeoxyzx常数（平面）z常数（平面）P图1.2.1直角坐标系电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊第16页面积元:dydzdSxdxdzdSydxdydSz体积元：dxdydzdV电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊eeeeee第17页1.2.2圆柱坐标系圆柱坐标中，P点的位置用三个量表示电磁场与波第一章__矢量分析eee第18页直-圆坐标关系：cosxsinyzzsincoseeexcossineeeyzzee22yxxytg/zzsincosyxeeecossinyxeeezzee直-圆矩阵形式：zzyxeeeeee1000cossin0sincos电磁场与波第一章__矢量分析第19页圆柱单位矢量关系：1zzeeeeee0eeeeeezzzeeeeeezeeezeeededyxcossineeededyxsincos单位矢量的微分:随的变化矢量的表示：位置矢量:zeerzzzAeAeAeA微分长度：dzedederdzA第20页微分体积：dzdddV微分面积：dzdeSddzdeSdddeSdzz电磁场与波第一章__矢量分析eee第21页1.2.3球坐标系球坐标中，P点的位置用表示电磁场与波第一章__矢量分析eee第22页cossinrxsinsinrycosrz222zyxrzyxtg22xytgcossinsincossinzyxreeeesinsincoscoscoszyxeeeecossinyxeeesinsincoscossineeeerxcossincossinsineeeerysincoseeerz球坐标－直角坐标关系:电磁场与波第一章__矢量分析第23页eersineerreecosee0ecossineeer单位矢量微分关系:单位矢量乘积关系:1eeeeeerr0rreeeeeeeeeeeeeeerrr,,电磁场与波第一章__矢量分析物理电子学院周俊第24页微分面积：drerdedrerdrsinddreSdrrsin2drdreSdsindrrdeSd微分长度:矢量的表示：AeAeAeArrA位置矢量：rerr微分体积:drddrdVsin2电磁场与波第一章__矢量分析eee1.直角坐标系xyzrexeyez位置矢量面元矢量线元矢量ddddxyzlexeyezdddddSelleyzxxyzxdddddzzxyzSellexy体积元ddddVxyzdddddyyxzySellexz坐标变量,,xyz坐标单位矢量,,xyzeee点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）P直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd归纳总结如下:长度元ddxlxddyylddzzl2.圆柱坐标系dddddddddddddddzzzzzSellezSellezSelle,,z坐标变量,,zeee坐标单位矢量zreez位置矢量ddddzleeez线元矢量ddddVz体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系长度元ddlddlddzzl2dddsinddrrrSellerdddsinddrzSellerrdddddrSellerr3.球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元,,r坐标变量,,reee坐标单位矢量rrer位置矢量dddsindrlererer线元矢量2dsindddVrr体积元面元矢量长度元ddrlrddlrdsindlr第28页第三节标量场的梯度(GradientofScalarField)1.3.1标量场的等值面三维标量场：等值面二维标量场：等值线等值面：(C为常数)[等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面]例如等温面、等位面等值线：(C1为常数)例如等高线，等温线Czyxu),,(11),(Cyxu电磁场与波第一章__矢量分析第29页等值面或等值线用途：直观了解物理量在场中的分布状况等高线等温线等值面标量场的等值面具有如下特点：①常数C取一系列不同的值，因而形成等值面(线)族;②标量场的等值面族充满场所在的整个空间；③标量场的等值面互不相交。电磁场与波第一章__矢量分析第30页1.3.2方向导数对于一个标量场，除了用等值面表示总体分布情况，还要讨论其等值面随空间的变化情况、函数关系。1.方向导数意义：表示场沿给定方向的空间变化率电磁场与波第一章__矢量分析30oC20oC10oC0oCABC150m100m200mA、B、C沿各自路径的方向导数分别为：-1/5、-3/20、-3/10方向导数的概念当点M沿射线趋近于时,比值l0M0()()uMuMl的极限称为标量场在点处沿方向的方向导数,记作000()()limlMuMuMulll0MM0lMΔl方向导数的概念方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。00coscoscos|limMluuudxudyudzllxdlydlzdluuuxyz概念：l0ul•——u(M)沿方向增加；l0ul•——u(M)沿方向减小；l0ul•——u(M)沿方向无变化。——的方向余弦。l式中：coscoscos、、M0lMΔl方向导数的概念1.3.2方向导数特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？M0lMΔl方向导数的概念1.3.3梯度梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向梯度的大小：该点的最大方向导数梯度的方向：等值面法线方向，规定沿增加方向为正上例中：梯度=3/10思考：为什么梯度是沿等值面法线方向？（看分母）电磁场与波第一章__矢量分析第35页1.3.3梯度数学符号：grad梯度与方向导数的关系0000cos