01第一节二次型及其矩阵

第五章二次型在解析几何中，为了便于研究二次曲线122cybxyax的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换cossinsincosyxyyxx把方程化为标准形式122ycxm.这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n个变量的二次多项式的化简问题.第一节二次型及其矩阵内容分布图示★二次型的定义★例1★二次型的矩阵形式★例2★例3★例4★例5★线性变换★例6★矩阵的合同★内容小结★习题5-1★返回内容要点：一、二次型的概念定义1含有n个变量nxxx,,,21的二次齐次函数nnnnnnnnnnnnxxaxxaxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,12232231121122222221112122222),,,(称为二次型.当ija为复数时，f称为复二次型；当ija为实数时，f称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型2222211nnykykykf称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取ijjiaa,则,2ijjijiijjiijxxaxxaxxa于是njijiijnnnnnnnnnnnnxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AXXxxxaaaaaaaaaxxxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxxTnnnnnnnnnnnnnnnnnn其中nnnnnnnaaaaaaaaaAxxxX21222211121121,.称AXXxfT)(为二次型的矩阵形式.其中实对称矩阵A称为该二次型的矩阵.二次型f称为实对称矩阵A的二次型.实对称矩阵A的秩称为二次型的秩.于是，二次型f与其实对称矩阵A之间有一一对应关系.三、线性变换定义2关系式nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx21122212121121111称为由变量nxxx,,,21到nyyy,,,21的线性变换.矩阵nnnnnncccccccccC212222111211称为线性变换矩阵.当0||C时，称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AXXXfT)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CYX将二次型化为标准型，将其代入得AXXXfT)(YACCYCYACYTTT)()()(这里，YACCYTT)(为关于nyyy,,,21的二次型，对应的矩阵为ACCT.注:要YACCYTT)(为标准型，即要ACCT为对角矩阵。由上章实对称矩阵对角化的方法，可取C为正交变换矩阵P.对于简单的二次型，也可以用用配方法解之.四、矩阵的合同定义3设A,B为两个n阶方矩阵,如果存在n阶非奇异矩阵C,使得,BACCT则称矩阵A合同于矩阵B,或A与B合同,记为.BA易见,二次型AXXxxxfTn),,,(21的矩阵A与经过非退化线性变换CYX得到的二次型的矩阵ACCBT是合同的.矩阵的合同关系基本性质:(1)反身性对任意方阵)(;,AAEEAAAT因为;(2)对称性若,BA则;AB(3)传递性若,,CBBA则.CA例题选讲：例1(1)223),(yxyxyxf是一个含有2个变量的实二次型.(2)22254223),,(zyzyxzxyxzyxf是一个3个变量的实二次型.(3)242322214321),,,(xxxxxxxxf是一个含有4个变量的实二次型.(4)424131214321342),,,(xxxxxxxxxxxxf是一个含有4个变量的实二次型.(5)15),(22xyxyxyxf不是一个实二次型,因为它含有一次项x5及常数项1.(6)312131321),,(xxxxxxxxf不是一个实二次型,因为它含有3次项.31x(7))1(),(22iiyxyxf不是一个实二次型,因为i是虚数,但它是一个复二次型.例2写出下列实二次型相应的对称阵.(1),23233),(2222yxyxyxyxyxyxf其相应的对称矩阵为.12/32/31(2)22254223),,(zyzyxzxyxzyxf22252222223zyzxzxyyxyxzxyx相应的实对称阵为.522/22112/213(3),),,,(242322214321xxxxxxxxf相应的实对称阵是一个对角阵:.1000010000100001(4)424131214321342),,,(xxxxxxxxxxxxf相应的实对称阵为.002/3200012/3002/1212/10例3设有实对称矩阵,22/102/101011A求A对应的实二次型.例4(讲义例1)二次型3222312132xxxxxxx的矩阵是;02/32/12/322/12/12/10A反之,对称矩阵02/32/12/322/12/12/10A所对应的二次型是.3202/32/12/322/12/12/10),,(32223121321321xxxxxxxxxxxxxAxxT例5(讲义例2)求二次型23223121213216224),,(xxxxxxxxxxf的秩.例6设二次型3231213211042),,(xxxxxxxxxf,且.,2,53332123211yxyyyxyyyx(1)求经过上述线性变换后新的二次型.