01第一章绪论与矢量分析(定稿6学时)

电磁场与电磁波主讲教师：马洪华中科技大学电子信息与通信学院《电磁场与电磁波》的体系结构本课程的基本内容——静态场部分矢量分析（数学基础）恒定电场（电流电场）静电场（电荷电场）恒定磁场（恒定电流磁场与永磁体磁场）静态场边值问题求解解析法：分离变量法、镜像法、格林函数法、复变函数法等数值法：有限差分法、有限元法、边界元法、矩量法等近似解析法:逐步逼近法、微扰法、变分法、迭代变分法等计算方法计算方法计算方法麦克斯韦的位移电流假说（变化电场产生磁场）基础总结法拉第电磁感应定律（变化磁场产生电场）基础总结基础总结时变场高斯定理磁通连续性定理标量位函数矢量位函数边界条件完整的麦克斯韦方程组（MaxswellEquation）应用实例总结基础总结基础波导和谐振腔均匀平面波的传播电磁波的辐射微波元件微波电路本课程的基本内容——时变场部分大家在《普通物理》课中已比较深入地研究过三种静态场（静态场、恒定电场、恒定磁场），对静态场有比较全面的了解。二、本课程的讲授内容及学习方法第一、介绍在电磁场理论中经常涉及到数学知识，即矢量分析和场论初步；第二，介绍三种静态场（静电场、恒定电场、恒定磁场）；第三，研究静态场边值问题的一些经典求解方法。之所以选择静态场来介绍解法，一是因为静态场相对时变场（时谐场或瞬态场）的解法简单，二是因为这些解法稍加修正即可推广至时变场的情形，因而它们是求解电磁场、电磁波问题的基础；第四，在引出时变电磁场中的各种物理量的基础上，结合电磁场的一些基本定律（电磁感应定律，全电流定律等），给出具有普遍意义的麦克斯韦方程组；并在此基础上，研究电磁场的一些普遍规律、概念和表示方法；第五，研究均匀平面波在无界理想或导电媒质中的传播规律、在无界各向异性媒质中的传播规律，以及在无限大平面处的反射与透射规律，它们是研究各种电磁波问题的基础，是电磁波最简单的一种传播情形；第六，电磁波的辐射——滞后位。本课程内容是今后可能会遇到的各种射频/微波电路与系统、天线与电波传播、无线通信、光通信等问题的基础，具有非常重要的理论意义与实际应用价值。学时安排（56学时）学时安排（48学时）41090148学时安排（40学时）410901400预习听课复习练习总结学习本课程的方法与关键：熟练掌握和应用相关的数学知识，包括微积分运算、级数、复变函数的表示方法与运算、梯度、散度、旋度，正交坐标系；各基本物理量的定义、物理含义、单位；熟记麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式，并注意这些具有普遍意义的数学等式如何体现到各种不同的场分布、场变化中的；注意习题与例题的求解方法，从中找出具有普遍性的解题过程与方法。学习的关键：教材及参考资料教材：沈西宁编，《电磁场与电磁波》，科学出版社，2006年。或：沈西宁编，《电磁场与电磁波（讲义）》，华中理工大学电子与信息工程系，1997年。参考资料：谢处方、饶克谨编，《电磁场与电磁波》，第二版、第四版，高等教育出版社；吴万春编，《电磁场理论》，电子工业出版社，1985年；R.E.Collin,“FieldTheoryofGuidedWaves”,Mc.Graw-Hill,Newyork.SimonRamo,et.al.,“FieldsandWavesinCommunicationElectronics”,JohnWiley&SonsCorp.Ltd.第1章矢量分析基础在讨论具体的电磁场问题之前，先介绍分析场问题的数学工具：矢量分析和最常用的坐标系，并引入亥姆霍兹定理（HelmholtzTheorem）,它是所有矢量场共同性质的总结。1.1矢量与矢量场电磁场与其它场一样，要用具有确定物理意义的量（标量或矢量）来表征，这些量在一定的区域内按一定的规律分布，并且在这个区域内，除去有限个点或某些表面，这种分布规律是空间坐标的连续函数。如果描述物理量的函数与时间无关，则该函数代表“静态场”；反之，若该函数除了与空间位置有关外，还是时间的函数时，则它所表示的场是“时变场”。如果场量在某时刻在空间任一点都仅由其大小（标量）就能完全决定，则这些标量函数所表示的场称为“标量场”。FaFaFaFatzyxFatzyxFatzyxFatzyxFFzzyyxxzzyyxx,,,,,,,,,,,,如果场量在某时刻在空间任一点都需要用矢量函数才能完全确定，则为“矢量场”，其场量具有大小和方向。在直角坐标系中，标量场一般可以用标量表示；矢量场须用矢量表示，而它又可以表示成三个标量函数的形式：通常，我们可以用曲线来形象地表示矢量场在空间的分布，其中，某处曲线的疏密程度表示该处场量的大小（强弱），而曲线在该点的切线方向则是该点矢量场的方向。这种曲线称之为“力线”或“通量线”。1.2三种常用的正交坐标系zyxdsdxdydsdxdzdsdydzdxdydzdV面积元：体积元：zxyodydzdxoyaxa直角坐标系zayxzxzyzyxaaaaaaaaa点的坐标：),,(zyxddrdSrsin2drdrdSsinrdrddSaaaaaaaaarrr,,ddrdrdvsin2体积元：面积元：点的坐标：),,(r1．在直角坐标系中，各单位矢均为常量；2．圆柱坐标系中，单位矢是常矢量，而单位矢、是变矢量（其方向随坐标点而变化）；3．球坐标系中，各单位矢、、均是变矢量，其方向均随坐标点而变化。4．各种坐标系之间，各单位矢的换算关系。例如，如何用单位矢来表示圆柱坐标系中的、、以及球坐标系中的、、（见教材附录）；zyxaaa,,zaraaraaazyxaaa,,raazaraaa注意：1.3标量场的方向导数与梯度zyxu,,ldzyxu,,duudldu方向导数：研究方向导数是为了研究在给定时刻标量场（标量函数）随空间坐标的变化情况。标量函数在某点处的方向导数定义为：设有一个标量场（标量函数），从场中某点M位移到邻近的另一点时函数值从变为，则比值就是标量场函数在M点处沿该方向的方向导数，如下图示:u0du注意：可见，方向导数是一个标量PQMPdnanddlaldnldldu0duMPnaMQMPdldudndulalnaa,lnaadndudndudldndndudlducosduuMQ标量场的梯度在上图中，设和是相差很小的两个等值面，且。M点位于等值面上，沿两个不同的路径位移到等值面上的P点和Q点。其中，与等值面的法线方向平行。很明显,，所以，。若设方向的单位矢量为，且的夹角为，则有：uunadnduGlaGdlduldGdulaGGnadndugradulagradudldu所以，令（１）则，或（２）可见，标量场在M点沿方向的方向导数等于矢量在此方向上的投影（分量），我们称矢量为在M点的梯度（gradient），记为gradu，即：（方向导数与梯度的关系）uu所以，标量场ｕ中某点处的梯度的“大小”就是在该点处沿各个方向的方向导数的最大值，而其“方向”与该点处等值面的法线方向平行，并指向函数ｕ值增大的方向。因此，梯度的反方向为标量函数的值下降最快的方向（最速下降方向）。如果已知M点处的梯度为,则可以由下式计算出沿任意方向的方向导数：gradulagradudldu因为，（ｕ的全微分）dzzudyyudxxududzadyadxaldzyxzuayuaxuaGzyx'ldGdu'而，若令矢量则很显然，有：以下推导梯度的计算公式（直角坐标系中）zuayuaxuaGGzyx'zuayuaxuaraduzyxgnnzyxauadnduuuzayaxagraduuzayaxazyx与（２）式比较，得到：所以，ｕ的梯度为（直角坐标系中）：（４）定义算符（称为哈密顿Hamilton算符）：它兼有矢量运算与微分运算的双重作用。这样，（４）式可写成：（６）今后我们一般用形如“”来表示ｕ的梯度。在其它坐标系中梯度的计算公式如下（可参见附录）。1grzuuuraduuaaarrz在圆柱坐标系中：11gsinruuuraduuaaarrr在球坐标系中：322'1111RRaRaRRRRR'rrRr'rPPRR'例：证明１、，是场点（即观察点）Ｐ的位置矢量，是源点Ｐ’的位置矢（所谓源点，即产生场的源所在的点，一般用带撇的符号表示）；o矢量三角形2，zayaxarzayaxarzyxzyxR1R1R1''PR1３、表示以Ｐ点为动点时的梯度，而表示以点为动点时的梯度。具体证明过程可见教材。等值线上任一点的法线方向求解方法：uuan1.4矢量场的通量与散度dsaSdnna前面已讲过，矢量场的形象表示是力线（通量线）,力线的疏密程度可以形象地表示矢量的大小。因此，垂直于矢量的单位表面所穿过的力线数（通量线数）就是该点矢量大小的量度。所以，“通量”是描述矢量场特性的一个很重要的概念。先介绍“面元矢量”。如图，一个面元除了它的大小外，它在空间还有一定的取向。取一个与面元相垂直的单位矢，则面元矢量可表示为：nadsnadsna其二，是闭合曲面上的一个面元，则闭合面的外法线方向就是的指向。nads的取法有两种情形：其一，是开表面上的一个面元，这个开表面由一个闭合曲线Ｃ所围成。当选择了这个闭合曲线的绕行方向后，由右手螺旋法则就可确定出的方向；sdAAAdssddsAsdAcosAsdA在矢量场中，取一个面元。由于很小，其上各点处的值可视为相同，则定义穿过的通量为:（为与的夹角）这样，穿过整个曲面S的通量为：cos,()cos,()nSSSnSSSAdSAadSAdSSAdSAadSAdSS为开曲面时为闭合曲面时0VVSdAVs0lim很明显，对闭合曲面而言，上式表示穿出曲面的通量。当其值大于零时，表示有净通量穿出，说明闭合面内必然存在产生场的“（正）源”；当其值小于零时，表示有净通量穿入曲面，说明闭合面内必存在产生场的“负源（沟）”；当其值等于零时，说明净通量为零，面内源和沟的总和为零，或者面内既无源也无沟。穿过闭合面的通量只说明了整个闭合面中源的情况，而不能说明闭合面内每点的性质，它没有反映面内每点处源的分布特性。为了研究一个点附近的的通量，我们可以把闭合面缩小，使包含这个点在内的体积，取如下的极限：AAAdivAdivAAzzyyxxzyxzyxAaAaAazayaxaAzAyAxAAdivA（4）在直角坐标系中的计算公式可根据下图推导出来：称为在该点处的散度（divergence），记为。从上述定义可知，是一个标量，它表示从该点单位体积内穿出来的的通量（通量体密度），它反映了在该点处的通量源强度。很显然，它与沿空间坐标的变化有关。divAA其它坐标系中也是用表示，具体公式如下：()11rzArAAdivAArrrz圆柱坐标系：22(sin)()111sinsinrAArAdivAArrrr球坐标系：几个重要的运算公式：0,(),()()cccAcAcABABfAfAfA