02-第2课时集合(II)

1O－1y32－1x第2题第1课时集合的概念和运算（I）一、学习要求（1）能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；（2）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义；（3）理解集合的子、交、并、补集的意义，能借助图示法进行集合间的运算．二、课前预习1．集合{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数是_____8__________．2．图中阴影部分的点(含边界)的集合用描述法表示为___________{(x，y)|－1≤x＜0且－1≤y＜0，或0≤x≤3且0≤y≤2}．3．符合条件{1，2}≠P{1，2，3，4，5}的集合P有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．4．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，UB∩A＝{9}，则A＝_{3，9}_______．5．已知U＝R，A＝(－∞，2)∪[3，＋∞），B＝(－1，5)，则UA∪UB＝（－∞，3）∪[5，＋∞)．知识点小结：集合是高考几乎每年必考的知识点之一，一般考察两方面的内容：一是集合本身的知识；二是集合语言与集合思想的运用．1．集合的概念和集合的表示（1）集合概念与“全体”的区别：集合虽然也有全体的意思，但集合中的元素必须是确定的，必须能判断一个对象是不是它的元素，全体不一定能成为一个集合；（2）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．正确认识集合的描述法，一定要首先分清集合的代表元素的形式，判断究竟是点集，还是数集，还是其它形式的集合．利用列举法书写集合时，除了要注意集合元素的形式外，还需要注意到集合中的元素的无序性和互异性．2．元素与集合、集合与集合关系描述（1）元素与集合的关系是从属关系，使用符号“∈”和“∈／”来表示，集合与集合的关系是包含关系，常用“”，“≠”和“／”来表示．（2）集合A是B的子集的理解是集合A中的任何元素都是集合B的元素，不能解释为集合A是由B中的部分元素组成的，例如“A＝”、“A＝B”；（3）集合的子集个数：若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；3．集合的子、交、并、补运算1．求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”．“且”的理解是“既是…，同时…”，“或”与通常理解的“非此即彼”有区别，它是两者可兼的．2．集合常常需要借助图形来辅助运算．连续数集间的运算常借助数轴进行，非连续数集或一般集合借助Venn图表示集合关系．3．集合运算的重要性质：SA∩SB＝S(A∪B)，SA∪SB＝S(A∩B)．A∩B＝A⇒AB；A∪B＝B⇒AB．板书：知识扫描：1．三种表示方法：列举法（无序性，互异性）描述法（数集，点集）图示法（数轴，Venn图）．2．元素与集合、集合与集合区别“∈”和“∈／”和“”，“≠”“／”．3．集合运算（1）子集个数：2n个．（2）数形结合．（3）性质：SA∩SB＝S(A∪B)，SA∪SB＝S(A∩B)．A∩B＝A⇒AB；A∪B＝B⇒AB．三、典型例题例1设集合P＝{x－y，x＋y，xy}，Q＝{x2＋y2，x2－y2，0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P、Q．【选题说明】理解集合相等的含义和集合元素的性质．解：∵P＝Q且0Q，∴0P．（1）若x＋y＝0或x－y＝0，则x2－y2＝0，与集合中元素的互异性矛盾，∴x＋y≠0且x－y≠0；（2）若xy＝0，则x＝0或y＝0．当y＝0时，x＋y＝x－y，与集合中元素的互异性矛盾，∴y≠0；当x＝0时，P＝{－y，y，0}，Q＝{y2，－y2，0}，由P＝Q得－y＝y2，y＝－y2，y≠0．①，或－y＝－y2，y＝y2，y≠0．②由①得y＝－1，由②得y＝1，此时P＝Q＝{1，－1，0}．【小结】列举法表示集合时，除了要注意集合元素的形式外，还需要注意到集合中的元素的无序性和互异性．例2判断下列两个集合之间的关系，并说明理由．(1)A＝{x|x＝3kπ＋π3，k∈Z}，B＝{x|x＝6zπ＋π3，z∈Z}；(2)A＝{x|x＝2m－1，m∈N}，B＝{x|x＝4n±1，n∈N}；(3)A＝{(x，y)｜x＋y＞0，xR，yR}，B＝{(x，y)｜x＞0，y＞0，xR，yR}．(4)A＝{y|y＝1x，x≠0}，B＝{y|y＝2x，x≠0}．【选题说明】正确认识周期性的点列及平面区域及函数值域的描述法表示，学习使用描述法3正确书写集合．解：(1)B＝{x|x＝6zπ＋π3，z∈Z}＝{x|x＝3(2z)π＋π3，z∈Z}，所以B≠A；(2)集合A表示奇数集，集合B表示被4除余数是1或3的所有整数，因此A＝B；(3)集合A表示直线x＋y＝0上方的平面区域，集合B表示第一象限内的区域，因此B≠A；(4)A＝{y｜y≠0}，B＝{y｜y≠0}，所以A＝B．【小结】正确认识集合的描述法，一定要首先分清集合的代表元素的形式，判断究竟是点集，还是数集，还是其它形式的集合．要弄清集合的含义，是方程的解集，是函数的值域，还是其它．如果表示函数的值域，最好将之用区间改写．例3已知集合A＝{x｜x≥2a＋1且x≤3a－5}，B＝{x｜x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．(1)A∩B＝；(2)AA∩B．【选题说明】进一步复习利用数轴求交集与并集的方法，强化对分类讨论的认识．解：(1)若A＝，则A∩B＝．此时2a＋1＞3a－5，即a＜6．若A≠，则2a＋1≤3a－5，2a＋1≥－1，3a－5≤16，解得6≤a≤7．综上，满足A∩B＝的实数a的取值范围是{a|a≤7}．(2)因为AA∩B，又A∩BA，故A∩B＝A，即AB．显然A＝满足条件，此时a＜6．若A≠，则2a＋1≤3a－5，3a－5＜－1，或2a＋1≤3a－5，2a＋1＞16．解2a＋1≤3a－5，3a－5＜－1，得a∈；解2a＋1≤3a－5，2a＋1＞16，得a＞152．综上，满足条件AA∩B的实数a的取值范围是{a|a＜6，或a＞152}．点评：(1)本例求解过程再一次表明数轴在数集运算中的重要作用；在讨论数轴上区间的覆盖时，要处理好端点的取舍．(2)求解此类问题时，一定要注意考虑是否满足条件．3a－5－116x2a＋1－116x2a＋13a－5－116x2a＋13a－5第1课时集合的概念和运算（I）1．满足M{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是__2___．2．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有__2___个．3．已知集合M＝{x|x＝3m＋1，m∈Z}，M＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，若x0∈M，y0∈N，则x0y0∈／M，x0y0∈___N．(用∈和∈／填空)．4．若A＝{x|(x－1)2＜3x－7}，则A∩Z的元素的个数是0．5．已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x︱x2－6x＋8＜0}，则(UA)∩B＝_(2，3]__．6．已知集合P＝{x|x(x－1)≥0}，Q＝{x|1x－1＞0}，则P∩Q＝____{x|x＞1}______．7．设集合A＝{x||x|＜4}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则集合{x|x∈A且x∈／A∩B}＝[1，3]．8．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，则b－a＝__2___．9．已知A＝{x｜x＜3}，B＝{x｜x≤a}．(1)若BA，求实数a的取值范围是（－∞，3）；(2)若AB，求实数a的取值范围是[3，＋∞)．10．已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝，则实数a的取值范围是[2，4]．11．已知集合A＝｛a，a＋d，a＋2d｝，B＝｛a，aq，aq2｝(a为常数)，若A＝B，求d，q的值．解：由A＝B得：a＋d＝aq，a＋2d＝aq2（1），或a＋d＝aq2，a＋2d＝aq．（2）．由（1）消去d，得aq2－2aq＋a＝0．根据已知条件，显然a≠0，d≠0，解得q＝1．但q＝1时，a＝aq＝aq2，这与集合中元素的互异性矛盾，故q＝1舍去．由（2）消去d，得2aq2－aq－a＝0．由于a≠0，q≠1，解得q＝－12．将q＝－12代入（2），5解得d＝－34a．12．已知集合A＝{x｜x2－x－6＜0}，集合B＝{x｜x2＋2x－8＞0}，集合C＝{x｜x2－4ax＋3a2＜0}，若C⊇A∩B，试确定实数a的取值范围．解：易知A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜x＜－4或x＞2}，则A∩B＝{x｜2＜x＜3}．因为C＝{x｜x2－4ax＋3a2＜0}＝{x｜(x－a)(x－3a)＜0}，所以当a＞0时，C＝{x｜a＜x＜3a}；当a＜0时，C＝{x｜3a＜x＜a}；当a＝0时，C＝，此时C⊇A∩B是不可能的．(1)当a＞0时，如图所示，得C⊇A∩B⇔a≤2，3a≥3．⇔1≤a≤2．(2)当a＜0时，C是负半轴上的一个区域，而A∩B是正半轴上的一个区域，因此，C⊇A∩B是不可能的．综上所述，1≤a≤2．13．记函数f(x)＝2－x＋3x＋1的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定义域为B．(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围．解：(1)2－x＋3x＋1≥0，得x－1x＋1≥0，解得x＜－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．(2)由(x－a－1)(2a－x)＞0，得(x－a－1)(x－2a)＜0．因为a＜1，所以a＋1＞2a，所以B＝(2a，a＋1)．因为BA，所以2a≥1或a＋1≤－1，即a≥12或a≤－2，而a＜1，所以12≤a＜1或a≤－2，故当BA时，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[12，1)．第2课时集合的概念和运算（Ⅱ）一、学习要求323aax（1）能正确利用集合表示方程、不等式（组）的解集以及平面上的点集；（2）正确理解数集和点集间运算的含义，感受集合语言的意义和作用．二、课前预习1．已知A＝｛x｜x2－2x－3＞0｝，B＝｛x｜x2＋ax＋b≤0｝，若A∪B＝R，A∩B＝｛x｜3＜x≤4｝，则a＝_____－3_____，b＝____－4____．2．设集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，N＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩N＝__{(1，－1)}_____．3．设A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|3x＋4y－5＝0}，则集合A∩B中的元素有__1__个．4．已知集合P＝｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝，Q＝｛y｜y＝x＋1，x∈R｝，那么P∩Q等于___________[1，＋∞）_____________．5．已知全集U＝｛0，1，2，3，4，5｝，A＝｛x｜x2－5x＋q＝0｝，且AU，那么q的允许值构成的集合是___｛q｜q＞254，或q＝0，或q＝4，或q＝6｝__，所有可能的∁UA分别是____｛0，1，2，3，4，5｝、｛1，2，3，4｝、｛0，2，3，5｝、｛0，1，4，5｝_______．知识点小结：理解集合的重点是理解集合语言在函数、方程、不等式中的应用．要弄清集合的含义，是方程的解集，是函数的值域，还是其它．容易将{y|y＝x2}，{x|y＝x2}，{(x，y)|y＝x2}混淆，在对它们进行求交集的运算时出错．板书：1．方程或不等式的解集：（1）一元二次不等式和一元二次方程（2）数轴2．定义域、值域区别{y|y＝x2}，{x|y＝x2}，{(x，y)|y＝x2}混淆3．方程组的解集或区域（曲线）三、典型例题例1设A＝{1，－1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，B≠，且BA，求实数a