2011年中考数学分类试题汇编规律与探探究(含答案)

2011中考数学试卷分类汇编（猜想与探究题）一、选择题1.（2011，浙江，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）A.28B.56C.60D.124【答案】C3.（2011，广东肇庆，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是．【答案】)2(nn4.（2011，内蒙古乌兰察布，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有个小圆.（用含n的代数式表示）【答案】(1)4nn或24nn5.（2011，湖南益阳，8分）观察下列算式：①1×3-22=3-4=-1②2×4-32=8-9=-1第1个图形第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形③3×5-42=15-16=-1④……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．【答案】解：⑴246524251；⑵答案不唯一.如2211nnn；⑶221nnn22221nnnn22221nnnn1.6．（2011，广东汕头，9分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数；（3）求第n行各数之和．【解】（1）64，8，15；（2）2(1)1n，2n，21n；（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于2(21)(1)nnn=322331nnn.二填空题1.（2011，四川绵阳，4分）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120个。【答案】152.（2011，广东东莞，4分）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnEnFn的面积为.【答案】14n3.（2011，湖南常德，3分）先找规律，再填数：1111111111111111,,,,122342125633078456............111+_______.2011201220112012则【答案】110064.（2011，广东湛江4分）已知：23233556326,54360,5432120,6543360AAAA,,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算27A（直接写出计算结果），并比较59A310A（填“”或“”或“=”）【答案】三解答题1.（2011，山东济宁，6分）观察下面的变形规律：211＝1－12；321＝12－31；431＝31－41；……解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想)1(1nn＝；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：211＋321＋431＋…[phone].【答案】（1）111nn··············································································1分（2）证明：n1－11n＝)1(1nnn－)1(nnn＝1(1)nnnn＝)1(1nn.··················3分（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…[phone]＝12009120102010.………………5分2.（2011，湖南邵阳，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，[来源:Zxxk.Com]∴∠1=∠2.又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=12∠ACP=60°。∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。∴∠5=10°-∠6=120°。………………②由①②得∠MCN=∠5.在△AEM和△MCN中，∵__________,____________,___________,∴△AEM≌△MCN（ASA）。∴AM=MN.(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图)，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）【答案】解：（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1；（2）结论成立；（3）02180nn。3.（2011，四川成都，4分）设12211=112S,22211=123S,32211=134S,…,2211=1(1)nSnn设12...nSSSS，则S=_________(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．【答案】122nnn．22111(1)nSnn=21111[]2(1)(1)nnnn=2111[]2(1)(1)nnnn=21[1](1)nn∴S=1(1)12+1(1)23+1(1)34+…+1(1)(1)nn122nnn.接下去利用拆项法111(1)1nnnn即可求和．4.（2011，四川内江，加试，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=13n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做：(1)观察并猜想：[来源:Z&xx&k.Com]12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3=1+0×1+2+1×2+3+2×3=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+=1+0×1+2+1×2+3+2×3+=(1+2+3+4)+()……(2)归纳结论：12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+[1+(n—1)]n=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n=()+[][来源:Zxxk.Com]=+=16×(3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是．【答案】（1+3）×44+3×40×1+1×2+2×3+3×41+2+3+…+n0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n1(1)2nn13n(n+1)(n—1)n(n+1)(2n+1)5.（2011，广东东莞，9分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.[来源:Zxxk.Com]（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数；（3）求第n行各数之和．【解】（1）64，8，15；（2）2(1)1n，2n，21n；（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于2(21)(1)nnn=322331nnn.6.（2011，四川凉山州，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了nab（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应2222abaabb展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着3322233abaababb展开式中的系数等等。（1）根据上面的规律，写出5ab的展开式。（2）利用上面的规律计算：5432252102102521【答案】解：⑴554322345510105abaababababb⑵原式=234554322521102110215211=5(21)=1注：不用以上规律计算不给分.7.（2011，四川凉山州，7分）如图，EF、是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CEAF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。【答案】猜想：BEDF。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴CBAD，CB∥AD∴BCEDAF在BCE△和DAF△BCDEFA20题图1112113311…………………………（a+b）1…………………………（a+b）2…………………………（a+b）3……………………CBADBCEDAFCEAF∴BCE△≌DAF△∴BEDF，BECDFA∴BE∥DF即BEDF.