05-二维线性系统分析1-傅里叶变换.

sinc(x)d(x-1)=tri(x)d(x+0.5)=sinc(x)*d(x-1)=tri(x)*d(x+0.5)=0sinc(x-1)1x2010.5d(x+0.5)1x0-110.5-0.5tri(x+0.5)0-0.510.5-1.5x•恩格斯(Engels)把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel)的辩证法相提并论.•他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗.第一章二维线性系统分析Analysisof2-DimensionalLinearSystem§1-2二维傅里叶变换三角傅里叶级数第一章二维线性系统分析Analysisof2-DimensionalLinearSystem§1-2二维傅里叶变换三角傅里叶级数满足狄氏条件的函数g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展为三角傅里叶级数:展开系数零频分量,基频,谐频,频谱等概念，奇、偶函数的三角级数展开,)2sin2cos(2)(1000nnnxnfbxnfaaxgtt00)(2dxxgatt00)2cos()(2dxxnfxgantt00)2sin()(2dxxnfxgbn1),...2,1,0(0tfn三角傅里叶展开的例子-1.201.2012345)2cos(2x)6cos(32x21前3项的和周期为t=1的方波函数......)6cos(32)2cos(221)(xxxfan…fn013频谱图1/22/-2/3三角傅里叶展开的例子练习0-15：求函数g(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里叶级数展开系数周期t=1宽度=1/212)(24141220dxdxxgattt2sinc4/14/1)2sin()2cos(2)2cos()(2414122nnnxdxnxdxnxxganttt0)2sin()(2220tttdxxnfxgbn频率f0=1采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。§1-2二维傅里叶变换指数傅里叶级数满足狄氏条件的函数g(x)具有有限周期t,可以在(-,+)展为指数傅里叶级数:1),...2,1,0(,)2exp()(00tfnxnfjcxgnn展开系数tt00)2exp()(1dxxnfjxgcn零频分量,基频,谐频,频谱等概念指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。§1-2二维傅里叶变换指数傅里叶级数思考题利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间的关系：2,2,200nnnnnnjbacjbacac§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform从傅里叶级数到傅里叶变换函数(满足狄氏条件)具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:)12exp()12exp()(1)(22xnjdxxnjxgxgnttttt展开系数Cn频率为n/t的分量22)12exp()(1)12exp()(tttttdxxnjxgCxnjCxgnnnn级谐波频率:n/t相邻频率间隔:1/t§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform从傅里叶级数到傅里叶变换非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:)12exp()12exp()(1lim)(22xnjdxxnjxgxgntttttt由于t∞分立的n级谐波频率n/tf,f:连续的频率变量相邻频率间隔:1/t0,写作df,求和积分)2exp()2exp()()(fxjdxfxjxgdfxg展开系数,或频率f分量的权重,G(f),相当于分立情形的Cn§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform从傅里叶级数到傅里叶变换写成两部分对称的形式:这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换dffxjfGxgdxfxjxgfG)2exp()()()2exp()()(§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform一、定义及存在条件函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp[),(),(为函数f(x,y)的傅里叶变换,记作:F(fx,fy)={f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],或f(x,y)F(fx,fy)F.T.f(x,y):原函数,F(fx,fy):像函数或频谱函数dxKfxF),()()(变换核积分变换:傅里叶变换的核:exp(-j2fx)§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform一、定义(续)由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对记作:f(x,y)=-1{F(fx,fy)}.显然-1{f(x,y)}=f(x,y)综合可写:f(x,y)F(fx,fy)F.T.F.T.-1x(y)和fx(fy)称为一对共轭变量,它们在不同的范畴(时空域或频域)描述同一个物理对象.yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp[),(),(§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform一、定义(续)描述了各频率分量的相对幅值和相移.x,y,fx,fy均为实变量，F(fx,fy)一般是复函数,F(fx,fy)=A(fx,fy)ejf(fx,fy)振幅谱位相谱yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp[),(),(F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform广义F.T.对于某些不符合狄氏条件的函数,求F.T.的方法.例:g(x,y)=1,在(-,+)不可积对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数,函数系列变换式的极限原来函数的广义F.T.可定义:g(x,y)=limrect(x/t)rect(y/t)t则{g(x,y)}=lim{rect(x/t)rect(y/t)}t§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform二、广义F.T.根据广义傅立叶变换的定义和d函数的定义:{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy)=d(fx,fy)t则{rect(x/t)rect(y/t)}=t2sinc(tfx)sinc(tfy){1}=d(fx,fy)按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.{rect()}tx)(sinc)sin()(21)2exp(21)2exp()2exp()(rect2/2/2/2/xxxfjfjxxxxxfffeefjxfjfjdxxfjdxxfjxxxtttttttttt思考题:利用{rect(x)}=sinc(f)计算dfff0)sin(重要推论:{rect(x)}=sinc(fx)§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform二、极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T.依F.T.定义:sincos)(tan122ryrxxyyxr空域fffsincos)(tan122yxxyyxffffff频域极坐标变换dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp[),(),(§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform极坐标下的二维傅里叶变换令:)sin,cos(),()sin,cos(),(fffrrfrgFG则在极坐标中:fff200)]cos(2exp[)sin,cos()sin,cos(rdrrjrrfdF则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：ffff200200)]cos(2exp[),(),()]cos(2exp[),(),(drjGdrgdrrjrrgdG§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform傅里叶-贝塞尔变换0000)2()(2)()2()(2)(drJGrgdrrJrrgG圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数,称为F-B(傅-贝)变换,记为G()={g(r)},g(r)=-1{G()}drdrjrrgG020)]cos(2exp[)(),(ff当f具有园对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)=g(r,)=g(r).依F.T.定义:利用贝塞尔函数关系)(2)]cos(exp[020aJdjaf§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform傅里叶-贝塞尔变换例:利用F-B变换求圆域函数的F.T.定义:是圆对称函数22,,01,1)(circyxrrr其它100)2(2)}(circ{drrrJr作变量替换,令r’=2r,并利用:xxxJdJ010)()()2(')'('21)}(circ{12002JdrrJrr§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform三.虚、实、奇、偶函数的F.T.将频谱函数G(f)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换),然后根据g(x)的虚、实、奇、偶性质讨论频谱的相应性质.注意:并非实函数的频谱一定是实函数.只有厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.例:rect(x)(实、偶)sinc(fx)(实、偶)F.T.但是,rect(x-1)(实、非偶)复函数F.T.§1-2二维傅里叶变换2-DFourierTransform四、F.T.定理--F.T.的基本性质1.线性定理Linearity设g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.2.空间缩放Scaling(相似性定理）g(x,y)+bh(x,y)}=G(fx,fy)+bH(fx,fy)F.T.是线性变换bfafGabbyaxgyx,1),(§1-2二维傅里叶变换FourierTransform四、F.T.定理空间缩放注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化.反之亦然.g(x)x01/21/21g(ax)a=2x01/41/41fG(f)01-11f02-21/2)(1afGax空域压缩F.T.F.T.频域扩展§1-2二维傅里叶变换FourierTransform四、F.T.定理3.位移定理Shiftingg(x-a,y-b)}=G(fx,fy)exp[-j2(fxa+fyb)]设g(x,y)G(fx,fy),F.T.频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.g(x,y)exp[j2(fax+fby)]}=G(fx-fa,fy-fb)空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.推论:由1}=d(fx,fy)exp[j2(fax+fby)]}=d(fx-fa,fy-fb)复指函数的F.T.是移位的d函数§1-2二维傅里叶变换FourierTransform四、F.T.定理4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压,则∫|g(x)|2dx代表信号的总能量(或总功率)|G(f)|2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)yxyxdfdf