2011年全国初中数学竞赛试题

第1页共6页2011年全国初中数学竞赛试题考试时间2011年3月20日9︰30－11︰30满分150答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设532x，则代数式(1)(2)(3)xxxx的值为（C）A．0B．1C．－1D．22、对于任意实数,,,abcd，定义有序实数对(,)ab与(,)cd之间的运算“△”为：(,)(,)(,)abcdacbdadbc。如果对于任意实数,uv，都有(,)(,)(,)uvxyuv，那么(,)xy为（B）。A．(0,1)B．(1,0)C．(1,0)D．(0,1)3、已知,AB是两个锐角，且满足225sincos4ABt，2223cossin4ABt，则实数t所有可能值的和为（C）A．83B．53C．1D．1134、如图，点,DE分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设1EADFSS四边形＝，BDF2SS＝，BCF3SS＝，CEF4SS＝，则13SS与24SS的大小关系为（C）A．13SS＜24SSB．13SS＝24SSC．13SS＞24SSD．不能确定5、设33331111S1232011＝＋＋＋＋，则4S的整数部分等于（A）A．4B．5C．6D．7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数,ab（其中2011b），斜边长是1b的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这ABCEDF第2页共6页两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。918、如图，双曲线2(0)yxx与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F且AF＝BF，连接EF，则△OEF的面积为＿＿＿＿＿；239、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为＿＿＿＿＿。2810、设四位数abcd满足3333110abcdcd，则这样的四位数的个数为＿＿＿。5三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、已知关于x的一元二次方程20xcxa的两个整数根恰好比方程20xaxb的两个根都大1，求abc的值。解：设方程20xaxb的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α≤β则方程20xcxa的两个整数根为α＋1、β＋1，由根与系数关系得：α＋β＝－a，(α＋1)(β＋1)＝a两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即(α＋2)(β＋2)＝3∴3212或1232解得：11或35又∵a＝－(α＋β)，b＝αβ，c＝－[(α＋1)＋(β＋1)]∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6故abc＝－3或abc＝2912、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙1O和△BCH的外接圆⊙2O相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。证明：如图，延长AP交⊙2O于点Q连结AH，BD，QC，QH∵AB为直径∴∠ADB＝∠BDQ＝900∴BQ为⊙2O的直径于是CQ⊥BC，BH⊥HQ∵点H为△ABC的垂心∴AH⊥BC，BH⊥AC∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形则点P为CH的中点。yxCABEFOABC1OH2OPDQ第3页共6页13、若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数1a，2a，3a，4a，5a，其中总有一个整数是素数，求n的最大值。解：若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，∴n≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数1a，2a，3a，4a，5a，若1a，2a，3a，4a，5a都不是素数，则1a，2a，3a，4a，5a中至少有四个数是合数，不妨假设1a，2a，3a，4a为合数，设1a，2a，3a，4a的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4由于1a，2a，3a，4a两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7因为1a，2a，3a，4a为合数，所以1a，2a，3a，4a中一定存在一个aj≥p2≥72＝49，与n≥49矛盾，于是1a，2a，3a，4a，5a中一定有一个是素数综上所述，正整数n的最大值为48。14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC。点P在△ABC内，且PA＝3，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积。解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，则△ABQ∽△ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2于是，AQ＝2AP＝23，BQ＝2CP＝4∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝900于是，PQ＝3AP＝3∴BP2＝25＝BQ2＋PQ2从而∠BQP＝900作AM⊥BQ于M，由∠BQA＝1200，知∠AQM＝600，QM＝3，AM＝3，于是，∴AB2＝BM2＋AM2＝(4＋3)2＋32＝28＋83故S△ABC＝21AB•ACsin600＝83AB2＝2376ACPBQM第4页共6页题目：1.分解因式：(x^4-x^2-4)(x^4+x^2+3)+10=____.(第12届“五羊杯竞赛题”)2.多项式x^2y-y^2z+z^2x-x^2z+y^2x+z^2y-2xyz因式分解后的结果是（）A.(y-z)(x+y)(x-z)B.(y-z)(x-y)(x+z)C.(y+z)(x-y)(x+z)D.(y+z)(x+y)(x-z)(上海市竞赛题)分解因式：3.(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x^2(天津市竞赛题)4.1999x^2-(1999^2-1)x-1999(重庆市竞赛题)5.(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)^2(“希望杯”邀请赛试题)6.(2x-3y)^3+(3x-2y)^3-125(x-y)^3(第13届“五羊杯”竞赛题)7.a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)8.x^2+xy-2y^2-x+7y-69.证明：对任何整数x和y，下式的值都不会等于33.x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.(莫斯科奥林匹克八年级试题)10.分解因式：4x^2-4x-y^2+4y-3=____.(重庆市竞赛题)11.如果x^3+ax^2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b=()A.7B.8C.15D.21(武汉市选拔赛试题)分解因式：12.x^4-7x^2+1(“祖冲之杯”邀请赛试题)13.x^4+x^2+2ax+1-a^2(哈尔滨市竞赛题)14.x^4+2x^3+3x^2+2x+1(河南省竞赛题)15.k为何值时，多项式x^2-2xy+ky^2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？(天津市竞赛题)16.如果多项式x^2-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次因式(x+b)、(x+c)的乘积(b、c为整数)，则a的值应为多少？(第17届江苏省竞赛题)17.若x^2+xy+y=14,y^2+xy+x=28,则x+y的值为___.(全国初中数学联赛题)18.已知a、b、c是一个三角形的三边，则a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2的值()A.恒正B.恒负C.可正可负D.非负(太原市竞赛题)（下面这几题是分数，我这么打，看不明白再跟我说）计算下列各题：19.分子：(2*5+2)(4*7+2)(6*9+2)(8*11+2)…(1994*1997+2)分母：(1*4+2)(3*6+2)(5*8+2)(7*10+2)…(1993*1996+2)20.分子：2000^3-2*2000^2-1998分母：2000^3+2000^2-200121.分子：(7^4+64)(15^4+64)(23^4+64)(31^4+64)(39^4+64)分母：(3^4+64)(11^4+64)(19^4+64)(27^4+64)(35^4+64)(第9届“华杯赛”试题)22.已知n是正整数，且n^4-16n^2+100是质数，求n的值.(第13届“希望杯”邀请赛试题)23.求方程6xy+4x-9y-7=0的整数解.(上海市竞赛题)24.设x、y为正整数，且x^2+y^2+4y-96=0,求xy的值.(第14届“希望杯”邀请赛试题)第5页共6页思路点拨：1.视x^4+x^2为一个整体，用一个新字母代替，从而能简化式子的结构.2.原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口.3.原式是形如abcd+e型的多项式，分解此类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分.4.原式中系数较大，不妨把数用字母表示.5.原式中x+y,xy多次出现，可引进两个新字母，突出式子特点.6.原式前两项与后一项有密切联系.(个人觉得这句话真废)7.原式字母多、次数高，可尝试用主元法.8.原式是形如ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解.9.33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可.10.直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配.11.原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式，故可考虑用待定系数法解，或用赋值法.12、13、14所给多项式，或有两项的平方和、或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解.15.因k为二次项系数，故不宜从二次项入手，而x^2+3x+2=(x+1)(x+2)，可得多项式必为(x+my+1)(x+ny+2)的形式.16.由待定系数法得到b、c、a的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b、c、a的值.17.恰当处理两个等式，分解关于x+y的二次三项式.18.从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式子的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束.19、20、21.观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情况考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律.对于21，运用a^4+64=(a^4+16a^2+64)-16a^2=(a^2+8)^2-(4a)^2=(a^2+4a+8)(a^2-4a+8)的结果.22.从因数分解的角度看，质数只能分解成1和它本身的乘积(也可以从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本题最自然的思路.23、24.观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口.答案(打得好累，直接就打最后答案了)：1.(x^2+1)(x+1)(x-1)(x^4+x^2+1)2.A3.(x^2+6x+6)^24.(1999x+1)(x-1999)5.(x-1)^2(y-1)^26.-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y)7.(b-c)(a-b)(a-c)第6页共6页8.(x-y+2)(x+2y-3)9.原式=(x+3y)(x-y)(x+y)(x-2y)(x+2y)当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y、x-y、x+y、x-2y、x+2y互不相同，而33不可能分解为四个以上不同因数的积，所以当x取任意整数，y取不为零的任意整数时，原式不等于33.10.(2x+y-3)(2x-y+1)11.D12.(x^2+3x+1)(x^2-3x+1)13.(x^2+x+1-a)(x^2-x+a+1)14.(x^2+x+1)^215