2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考答案

12011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．已知P是△ABC所在平面上一点，满足23PAPBPCAB，则△ABP与△ABC的面积之比为．2．已知数列{}na满足：*1212122,1,(N)nnnnnnaaaaaaaan，则122011aaa.3．已知R，如果集合{sin,cos2}{cos,sin2}，则所有符合要求的角构成的集合为．4．满足方程28sin()160xxxy（R,[0,2)xy）的实数对(,)xy的个数为．5．设z是模为2的复数，则1||zz的最大值与最小值的和为．6．对一切满足||||1xy的实数,xy，不等式3|23||1||23|2xyyyxa恒成立，则实数a的最小值为．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A.如果方程20xmxn（,mnA）至少有一个根0xA，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为．8．已知关于x的方程2||2xkkx在区间[1,1]kk上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()yfxxbxc的图象过点（1，13），且函数y1()2fx是偶函数.（1）求()fx的解析式；（2）函数()yfx的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.210．已知数列{}na满足2*1121,(N)3nnnaaaann.证明：对一切*Nn，有（1）11nnaa；（2）1124nan．11．已知椭圆C：22142xy，过点P21(,)33而不过点Q(2,1)的动直线l交椭圆C于A、B两点.（1）求∠AQB；（2）记△QAB的面积为S，证明：3S．311:2240223{|2,}kkZ48546232723801k9.解（1）因为函数1()2yfx是偶函数，所以二次函数2()fxxbxc的对称轴方程为12x，故1b.------------------------------------------4分又因为二次函数2()fxxbxc的图象过点（1，13），所以113bc，故11c.因此，()fx的解析式为2()11fxxx.------------------------------------------8分（2）如果函数()yfx的图象上存在符合要求的点，设为P2(,)mn，其中m为正整数，n为自然数，则2211mmn，从而224(21)43nm，即[2(21)][2(21)]43nmnm.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)nmnm，2(21)0nm，所以有2(21)43,2(21)1,nmnm解得10,11.mn因此，函数()yfx的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10.解（1）显然，0na，所以212nnnnaaaan（*nN）.所以，对一切*kN，211221kkkkkkaaaaaakk，所以21111kkaak.--------------------5分所以，当2n时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1nnnnkkkknkkaaaaakkkkk13[11]111nnn，所以1na.又1113a，故对一切*nN，有1na.因此，对一切*nN，有11nnaa.-------------10分（2）显然111113424a.由1na，知2122kkkkkaaaaakk，所以2121kkkaak，所以2211122221111kkkkkkkkkakaaaaaaaakkkk，所以211111kkaak，------------------------------------------15分4所以，当*nN且2n时，111121111111111111111()33()1(1)1nnnnkkkknkkaaaaakkkkk1213(1)nnn，所以11112122(21)24nnannn.------------------------------------------20分11.解（1）如果直线l的斜率存在，设它的方程为ykxb，因为点P在直线l上，所以1233kb，故1(21)3bk.联立直线l和椭圆C的方程，消去y，得222(21)4240kxkbxb.设A11(,)xy，B22(,)xy，则122421kbxxk，21222421bxxk，212122242()222121kbbyykxxbbkk，222221212121222244()()()()2121bkbyykxbkxbkxxkbxxbkkbbkk222421bkk------------------------------------------6分因为11(2,1)QAxy，22(2,1)QBxy，所以11221212(2,1)(2,1)(2)(2)(1)(1)QAQBxyxyxxyy121212122()2()1xxxxyyyy2222222244422()2121212121bkbbkbkkkk2221[322(221)1]21bkbkk222112[(21)2(21)(221)1]2133kkkkk＝0，所以QAQB，显然A、Q、B三点互不相同，所以∠AQB＝90°.5如果直线l的斜率不存在，则A、B两点的坐标为217(,)33，容易验证∠AQB＝90°也成立.因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB＝90°，所以△QAB是直角三角形.如果直线QA或QB的斜率不存在，易求得△QAB的面积为223S.如果直线QA和QB的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为(2)1ymx，代入椭圆C的方程，消去y，得222(21)4(21)2(21)40mxmmxm，则22222224(21)2(21)48|21|||1[]41212121mmmmQAmmmmm.又QB⊥QA，所以，同理可求得222218|2()1|18|2|||()11122()1mmQBmmmm.--------------------------16分于是，△QAB的面积为2222118|21|8|2|||||1122212mmSQAQBmmmm22222222|21||2||2(1)|4(1)4(1)(21)(2)2(1)mmmmmmmmmm222221|2|1142()1mmmmmm.令22212cos,sin11mmmm，则21|2cossin|2412sin4S.注意到1113|2cossin|2|sin()|22442，212sin24，且等号不能同时取得，所以32432S.------------------------------------------20分