2011年华约数学试真题(含解析)

2011年华约数学试题解析一、选择题(1)设复数z满足|z|1且15||2zz则|z|=()4321ABCD5432解：由15||2zz得25||1||2zz，已经转化为一个实数的方程。解得|z|=2（舍去），12。(2)在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2。则异面直线DM与AN所成角的余弦为()1111ABCD36812[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2。如图建立坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，2)，则112112(,,),(,,)222222MN，312132(,,),(,,)222222DMAN。设所zONMDCBAPyx成的角为θ，则1cos6DMANDMAN。解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2。平移DM与AN在一起。即M移到N，D移到CD的中点Q。于是QN=DM=AN。而PA=PB=AB=2，所以QN=AN=3，而AQ=5，容易算出等腰ΔAQN的顶角1cos6ANQ。解法三：也可以平移AN与DM在一起。即A移到M，N移到PN的中点Q。以下略。(3)过点(-1,1)的直线l与曲线相切，且(-1,1)不是切点，则直线l的斜率为()A2B1C1D2此题有误，原题丢了，待重新找找。(4)若222coscos3ABAB，则的最小值和最大值分别为()33133312A1,B,C1,1D,122222222[分析]首先尽可能化简结论中的表达式22coscosAB，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。解：221cos21cos21coscos1(cos2cos2)222ABABAB11cos()cos()1cos()2ABABAB，可见答案是BNMDCBAPQ[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔOO1O2边O1O2上一点C，OO1、OO2延长线上分别一点A、B，使得O1A=O1C，O2B=O2C。解法一：连接12OO，C在12OO上，则1221OOOOOO，111212OACOCAOOO，222112OBCOCBOOO，故1212211()22OCAOCBOOOOOO，12()2OCAOCB，sincos2。解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OOOOOO，1212124OCAOCBOOO，12()2OCAOCB，sincos2。(6)已知异面直线a，b成60°角。A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面()A有且只有一个B有且只有两个C有且只有三个D有且只有四个[分析]已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线。答案是4个。(7)已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)2222abcxaybzc则222xyz的最小值为()43A1BCD232解：由(1,1)xaybzc得3331()122211222yzyzyzyzxx，　由于222222()()2yzyzxyzx，可以用换元法的思想，看成关于x，y+z，y-z三个变量，变形232(1)yzyzx，代入222222()()2yzyzxyzx222228242(1)343()3333xxxxx，答案B(8)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦，O为坐标原点，且135OFA，C为抛物线准线与x轴的交点，则ACB的正切值为()424222A22BCD533解法一：焦点F（1，0），C（-1，0），AB方程y=x–1，与抛物线方程y2=4x联立，解得2222)2222)AB，，于是222222222222CACBkk=，=-，tan221CACBCACBkkACBkk，答案A解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD=45°，EF∥DA，EF=2，AF=AD，BF=BC，求∠AEB。2tantan2DEGFAEFEADADAF。类似的，有BGCEDAF2tantan2BEFEBC，2AEBAEFBEFAEF，tantan222AEBAEF，答案A解：BDFBDEBDEDFSSzSDE，(1)BDEABEABEBDSSxSAB，ABEABCABCAESSySAC，于是(1)2(1)BDFABCSxyzSxyz。将11yzxyzx，变形为，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须12xyz，于是21(1)(1)2BDFSxx，解这个一元函数的极值问题，13x时取极大值1627。(10)将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（）A存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角。事实上，∠D≥∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC=180°-∠B，所以∠D为钝角。这样就排除了B，C。下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。FEDBCA假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC)ΔACD，则∠D=180°-∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。二、解答题解：（I）tantantantan()tantan1ABCABAB，整理得tantantantantantanABCABC（II）由已知3tantantantantanACABC，与（I）比较知tan33BB，=。又112242sin2sin2sin23sin3ACB，sin2sin24sin2sin23ACAC，sin()cos()1cos2()cos2()3ACACACAC，而3sin()sin2ACB，1cos2()cos22ACB，代入得2cos2()13cos()ACAC，24cos()3cos()10ACAC，1cos()14AC，，6cos124AC，（12）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。（I）若b=3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；DBCA（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？解：不妨设水杯高为1。（I）这时，水杯质量：水的质量=2：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320(II)当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x克水。这时，水杯质量：水的质量=a：x。水杯的重心位置为12，水的重心位置为2xb，水面位置为xb，于是122xaxxbaxb，解得2xaaba（13）已知函数21()(1)1()2xfxffaxb2，，3。令111()2nnxxfx，。(I)求数列{}nx的通项公式；(II)证明12112nxxxe。解：由12(1)1()1()21xffabfxx2，得，3(I)先求出123412482359xxxx，，，，猜想11221nnnx。用数学归纳法证明。当n=1显然成立；假设n=k显然成立，即11221kkkx，则122()121kkkkkkxxfxx，得证。(II)我们证明12112nexxx。事实上，12111112(1)(1)(1)242nnxxx。我们注意到2212(1)12(1)nnaaaa，，，于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222nnnnnnnexxx（14）已知双曲线221222:1(0,0),,xyCabFFab分别为C的左右焦点。P为C右支上一点，且使21212=,333FPFFPFa又的面积为。（I）求C的离心率e；(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ0）,使得22QFAQAF恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔPF1F2中，21212=333FPFFPFa，的面积为，E为PF1上一点，PE=PF2，EF1=2a，F1F2=2c，求ca。设PE=PF2=EF2=x，FF2=32x，12212113(2)33222FPFSPFFFxaxa，224120xaxa，2xa。ΔEF1F2为等腰三角形，1223EFF，于是223ca，3cea。(II)（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。（I）求p1，p2，p3，p4；(II)探究数列{pn}的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列{pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。FEPF12aP2cF22x