1-2极限的概念无穷小与无穷大(上)

1函数的极限小结作业数列的极限第二节极限的概念、无穷小与无穷大(上）第一章极限和函数的连续性质一、概念的引入极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长.庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是:一尺长的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完.数列的极限中写道:割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积3极限的概念割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念34,,,nAAAS13如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n定义按照自然数的顺序排列的一列数,,,21nxxx简记为的称为数列其中}{nnxx通项(generalterm),或者一般项.},{nx极限的概念二、数列(sequenceofnumber)及其极限1.数列的概念141x2x3x4xnx;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn数列的(两种)几何表示法:数列可看作自变量为正整数n的函数:)(nfxn整标函数或下标函数(1)数列对应着数轴上一个点列.极限的概念(2)在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注不可将这串点连成曲线.onxn····1234则数列的几何意义是数列的极限平面上一串分离的点.162、数列极限的概念.}11{时的变化趋势当研究数列nn即,511,411,311,211,1156,45,34,23,2问题当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?nxn如果是,当n无限增大时,nx无限接近于1.极限的概念如何确定?极限的概念17那是不是对任意的数列，当无限增大时,数列都会无限接近于某一确定的数值?nxnnx当无限增大时,数列n1)1(nnx在两个数1和-1之间来回变化，不会无限接近于某个固定的常数。答案是否定的，例如数列1)1(nnx18定义设有数列nx与常数,a如果当n无限增大时,nx无限接近于,a则称常数a为数列nx的极限(limit）,,limaxnn或).(naxn如果一个数列没有极限,就称该数列发散(diverge).注:记号)(naxn常读作:当n趋于无穷大时,nx趋于.a极限的概念记为：或者称数列收敛于,nxannx21nn21,解：;,21,161,81,41,21).1(n.,21,,81,41,21321nnxxxx214181010确定常数021limnn极限存在并写出收敛数列的极限观察变化趋势,;,21,161,81,41,21).1(n,,3,2,1)3(n;21)1(,,0,1,0,1)2(1n极限的概念19;,0,1,0,1)2(;,,,4,3,2,1)3nnxnnn,（非确定常数）极限不存在（发散）nxn,极限不存在（发散）,,10不能趋于一个确定的数之间摆动与该数列在数A定的常数不能无限地接近一个确极限的概念20213.1.有界性如,1nnxn数列nnx2数列有界;无界.定义,nx对数列若存在正数M,,成立n,恒有称为无界.则称数列有界;nx数轴上对应于有界数列的点都落在nx],[MM闭区间上.否则,使得一切正整数极限的概念3、收敛数列的性质||nxM22定理1有界性是数列收敛的必要条件,推论注收敛的数列必定有界.极限的概念无界数列必定发散.不是充分条件.3.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.3.3.保号性定理3如果,limaxnn且0a,0N则,Nn当0nx有),0(a).0(nx推论如果数列nx从某项起有0nx),0(nx且,limaxnn那么0a).0(a23函数在无穷远点的极限函数在一点的极限三、函数的极限对于数列,即整标函数),(nfxn其自变量的变化只有一种情形.而对于一般函数来说,有:)(xfy极限的概念1.当x→∞时,函数f(x)的极限函数()1xfxx当x→+∞时,函数f(x)无限趋近于常数1，此时我们称1为当x→+∞时函数f(x)的极限.定义如果当自变量x无限增大时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记为-11()()fxAx或极限的概念lim()xfxA24当x→-∞时,函数f(x)无限趋近于常数1，此时我们称1为当x→-∞时函数f(x)的极限.定义如果当无限增大时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记为||xlim()xfxA()fxA(x→∞)或lim11xxxlim11xxx极限的概念25lim()lim()xxfxfxA?ギ+?==定理的充要条件是lim()xfxAxyarctan,2arctanlim:πxx由图形可知.2arctanlim:πxx同理可知2πy2πy.时的极限、数当根据图形写出反正切函xx当x+时,函数趋于/2;当x-时,函数趋于-/2;那?x例极限的概念26.)(lim)(lim)(lim:AxfxfAxfxxx的充分必要条件是定理思考题：)11(limxx的极限存在吗？1)11(limxxxyo1xxf11)(..当x时,函数f(x)极限存在的充要条件1)11(limxx.1)11(limxx27xxe)1(limxxe)1(limxxe)1(limxxelimxxelimxxelim1、不存在0不存在0不存在（2）（1）不存在例：观察下列函数在x趋于无穷时极限是否存在.28极限的概念xycosxxcoslimxxcoslimxxcoslim例不存在,]1,1[cos,之间摆动在函数时当xx.coslim,不存在不能趋于一个确定的数xx29极限的概念.111)(,1)(:221时的变化趋势当观察函数引例xxxxfxxf由图形可以看到.xyo12)(xf)(xfy..21)(,11xxfx时当f1(x)在点x=1处有定义.函数f2(x)在点x=1处没有定义.11)(,122xxxfx时当.2)1(1xx2当x→x0时,函数f(x)的极限302当x→x0时,函数f(x)的极限21()1xfxx当x→1时,的值无限趋近于常数2，此时我们称当x趋近于1时，函数21()1xfxx21()1xfxx极限为2定义设函数f(x)在的某邻域内有定义（x0可以除外）,如果当自变量x趋近于x0时,函数f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数A,则称A为函数f(x)当x→x0时的极限，0lim()xxfxA()fxA0()xx或21112xxy考查函数记为极限的概念312.在定义中，x是以任意方式趋近于的，但在有些问题中，往往只需要考虑点x从的一侧趋近于时，函数f(x)的变化趋向.注:1.在时的极限是否存在,与在点处有无定义以及在点处的函数值无关.0x0xx()fx()fx0x如果当从的左侧趋近于(记为）时,以A为极限，则称A为函数当时的左极限，记为()fx0x0lim()xxfxAx()fx)(0xx0xx0xxAxf)()(0xx或0x0x0x0x极限的概念32如果当从的右侧趋近于（记为）时,以A为极限，则称A为函数当时的右极限或()x()fxAxf)(0xx0x()fx0xx0xAxfxx)(lim00xx0xx,记为极限的概念330,10,1)(2xxxxxf设两种情况分别讨论和分00xx,)1(0xx从左侧无限趋近;0xx记作,)2(0xx从右侧无限趋近.0xx记作yox1xy112xy解观察可知:1)1(lim)(lim200xxfxxx1)1(lim)(lim00xxfxxx例左极限右极限).(0lim),(0limxfxfxx求?)(lim0xfx1极限的概念34函数的极限与左、右极限有如下关系：定理定理常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在0lim()xxfxA00lim()lim()xxxxfxfxA极限的概念注35yx11oxxx0lim:左极限左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx证1)1(lim0xxxx0lim:右极限11lim0x.0101xxxxxxxx.lim0不存在验证xxx例).(lim,00063)(0xfxxxxfx讨论设例6)63(lim)(lim00xxfxx解？如何求分段点左右两边表达式相同不需分左右极限分段函数在分段点的极限的步骤:；选择正确的表达式求)(lim).10xfxx；选择正确的表达式求)(lim).20xfxx.).3根据定理得出结论注意：有时不需分左右极限求解极限的概念36性质1(局部有界性)极限的概念3函数极限的性质性质2(局部保号性)38五、小结极限的概念2.极限的几种形式;)(limAnfn;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx3.根据定理讨论分段函数在分段点的极限.4.结合图形熟记基本初等函数在各点的极限.5.了解收敛数列（函数）的性质(有界性、保号性).1.理解极限是研究函数在自变量变化下，函数值的变化趋势问题。作业习题1.2(A)1，3极限的概念39