10函数复习

《函数》复习（1）对于变量x允许取的每一个值组成的集合A为函数y=f(x)的定义域.对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：（2）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。（2）对于变量y可能取到的每一个值组成的集合B为函数y=f(x)的值域.•一个变量的取值确定后，另一个变量的值也随之确定，则他们都是函数。下列图形中，不可能是函数y=f（x）图像的是（）yyyxyxxx(A)(D)(C)(B)D例2:根据函数的定义判断下列对应是否为函数:2(1),0,;(2),,,.xxxRxxyxxNyR2这里y•判断标准：两个非空数集A、B，一个对应法则f，A中任一对B中唯一。例3:比较下面两个函数的定义域与值域:(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}(2)f(x)=(x-1)2+1例2下列函数哪个与函数y=x相等)(2)1(xy33)2(xyxy2)3(xyx2)4(解（1），这个函数与y=x（x∈R）对应一样，定义域不不同，所以和y=x（x∈R）不相等)0()(2xxyx（2）这个函数和y=x（x∈R）对应关系一样，定义域相同x∈R，所以和y=x（x∈R）相等)(33Rxxyx||2xyxx，x≥0-x，x0（3）这个函数和y=x（x∈R）定义域相同x∈R，但是当x0时，它的对应关系为y=-x所以和y=x（x∈R）不相等（4）的定义域是{x|x≠0}，与函数y=x（x∈R）的对应关系一样，但是定义域不同，所以和y=x（x∈R）不相等xxyx2例4：下列函数中，与y=x表示是同一函数关系的是（）22332()()()()()xAyxByxCyxDyx集合表示区间表示数轴表示{xa＜x＜b}(a,b)。。{xa≤x≤b}[a,b]..{xa≤x＜b}[a,b).。{xa＜x≤b}(a,b].。{xx＜a}(－∞,a)。{xx≤a}(－∞,a].{xx＞b}(b,+∞)。{xx≥b}[b,+∞).{xx∈R}(－∞,+∞)数轴上所有的点例1、求下列函数的定义域（2）xxy10)1(11xxy（3）（1）22xxy例1、求下列函数的定义域（1）22xxy解:(1）依题意有：022xx20x解得：022xx}20|{xx}20|{xx故函数的定义域为[0,2]例1、求下列函数的定义域（2）xxy1解:(2）0xx依题意有xx即:0x解得：}0|{xx故函数的定义域为0,例1、求下列函数的定义域0)1(11xxy（3）解:(3）注意：函数定义域一定要表示为集合11xx且解得：}11|{xxx且故函数的定义域为0101xx依题意有：1,11,（5）满足实际问题有意义.几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）练习2|1|42xxy的定义域求函数解：依题意有：02|1|042xx解得：3122xxx且函数的定义域为}2112|{xxx或2,11,2一、由函数解析式求定义域明晰函数的约束条件→细致非空数集求下列函数的定义域：1、y=lg(4x+3)2、y=1/lg(4x+3)3、y=(5x-4)04、y=x2/lg(4x+3)+(5x-4)0例1、求下列函数的定义域xxy)2lg(1、02)45()34lg(2xxxy、xxycoslg2552、3)12(23log)(4xxfx、)39lg(|2|713xxy、5、用长为l的铁丝弯成下部的矩形，上部分为半圆的框架（如图），若矩形的底边长为2x，求此框架围成面积y与x的函数，写出的定义域。DCAB2x2.确定函数定义域的依据不为0大于0大于0且不等于1非负不等于0指数式中底数必须大于零且不等于1.（1）函数y＝＋ln(2－x)的定义域是()A.[1，＋∞)B.(－∞，2)C.(1,2)D.[1,2)练习0lg(164)(1).3xyxx(2)求函数的定义域22(3)11;2323(5);35.11xyyxxxxyyxxx;(4)(6)2.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,3]，则函数y＝f(x2－1)的定义域是()A.[－2,2]B.[－1,3]C.[－1，＋∞)D.[－]解析：∵f(x)的定义域为[－1,3]∴－1≤x2－1≤3即0≤x2≤4∴－2≤x≤2.A例题讲解二即f(x)的定义域为{x|0≤x≤8}.变式若本例(2)中交换y＝与y＝f(x)的位置，结论如何？2(1)fx解：∵的定义域为[－1,3]，即—1≤x≤3，∴0≤≤82(1)fx21x(1)[0,3],()fxfx练习：已知的定义域为求的定义域。(1)()1(1)(),()fxfxxuxfxfuufx分析：函数和中的并不是同一个量，若设则变为那么的取值范围就是的定义域。(1)[0,3],fx解：的定义域为[()]()()fxDxDfx注：求此类题目的解题方法是：若的定义域为，则在上的取值范围，即是的定义域。3,112xx0则()[1,2].fx故的定义域为2（1）已知函数的定义域为求的定义域；（2）已知函数的定义域为求的定义域.)(xf)2(xf220x)21(xf}32|{xx)1(xf2（1）已知函数的定义域为求的定义域)(xf)2(xf解:（1）)(xf}20|{xx的定义域为)2(xf2x220x中应满足：}02|{xx)2(xf的定义域为2,02(2)已知函数的定义域为求的定义域)21(xf}32|{xx)1(xf411x4211x2131xx或解:(2))1(xf}32|{xx的定义域为}2131|{xxx或的定义域为)21(xf中)1(xf)21(xf21x与中1x地位相同练习已知函数的定义域是求函数的定义域.)1(xfy)1(xf)(xfy}20|{xx解：)(xfy}20|{xx函数的定义域是210210xx3111xx1x函数的定义域为)1(xfy)1(xf}1{【分析】正确理解函数定义域的概念，理解函数f(x)定义域是x的取值范围.（1）已知函数f(x)的定义域是［0,4］，求函数f(x2)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是［-1,3］，求函数f(x)的定义域;（3）已知函数f(x2-2)的定义域是［1,+∞)，求函数的定义域.)2(xf返回3.若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是()A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)解析：要使g(x)有意义，则解得0≤x＜1，故定义域为[0,1).B例题讲解三4.若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为.[－1,0]解析：由题意知2－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，其等价于Δ＝4a2＋4a≤0⇒－1≤a≤0.例题讲解四：定义域为R的数学问题等价于对于一切实数恒成立问题321()3xfxRmmxmx例：若函数的定义域为，求的取值范围。2230,30mxmmxmxx解：要使原函数有意义，必须由于函数的定义域是R，故对一切实数恒成立。①00mm当时，30成立，则满足条件。故由①②可知012.m②20120,012.mmmm当时，有解得【解题回顾】对于x∈R时ax2+bx+c≥0恒成立.一定要分a=0与a＞0两种情况来讨论.这样才能避免错误.1.已知函数y=的定义域为R(1)求实数m的取值范围；(2)求函数的值域.268mxmxm20(6)4(8)0mmmm(1)由01m得206880mmxmxm当时,[0,1].m故的取值范围是解:(2)[0,1],[0,);my当时思考题例8、若函数y=lg(4－a•2x)的定义域为R，则实数a的取值范围是_______的取值范围。则实数的定义域为：若函数例aRaxaxaxy,341732综合3：已知函数f(x)=lg(mx2－4mx+m+3)1）若f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是_______2）若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围___________2、(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定义域应有不等式a≤g(x)≤b解出x即得.(2)已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b],求原函数y=f(x)的定义域,应求出y=g(x)的值域(x∈[a,b]),即得y=f(x)的定义域.知识小结:1、函数的定义域就是使函数的解析式有意义的实数的集合；五、含参的函数的定义域注意：对参数的一切值分类讨论例5、求函数f(x)=lg(ax－k•2x)(a0且a≠1，a≠2)的定义域。例6、已知函数f(x)的定义域是(0,1],求g(x)=f(x+a)+f(x-a)(其中-1/2a≤0)的定义域。如求函数y=log2(1-ax)的定义域？？把2改写成以a为底的指数和对数22loglog2aaaa综合2：设函数⑴求f(x)的定义域；⑵问f(x)是否存在最大值和最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，说明理由。)(log)1(log11log)(222xpxxxxf二、求函数的值域问题1：求函数的值域首先要确定函数的定义域，函数的值域就是当自变量x取不同值时对应的y值的集合；2：函数的值域一定要用区间或集合表示；3：函数的值域是函数值的集合，与函数的最值不同；函数值域的求法方法1，直接法：有些函数的结构不复杂，可通过基本初等函数的值域结合不等式的性质直接求值域；要对学习过的基本初等函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的性质和不等式的性质熟练的掌握；164xy[0,)[0,4][0,4)(0,4)例1，（2010重庆文第4题）函数的值域是（）B.A.C.D.40016416[0,4)xxy答案：C221;111,,3,1134;11(3);1yxyyyxxxxyxxyx例2：求下列函数的值域：(观察法)(1)=(2)=方法2，分离常数法：22()(0)()(0)axbaxbxcfxacfxadcxddxexf形如或的函数，把其化为一个常数和另一个函数的和（差）的形式，即()(,)axbmfxkkmcxdcxd是常数或222()(,)axbxcmfxkkmdxexfdxexf是常数即对那个函数进行求取值范围即可；例3，求下列函数的值域2()1xfxx（1）221()1xfxx（2）23()1111xfxxx解析：（1）()(,1)(1,)fx所以函数的值域是222212()11111xfxxxx（2），2202()(1,1]1fxx1222xx：y变式练习51442xyx例、方法3，配方法：或可配为二次型的函数，可用配方法。2(0)yaxbxca对于形如=例5，求下列函数的值域2(1)23yxx(2)423xxy222646;(2)46;0,3()y=-++2y