10正项级数

1有界性准则比较判别法比值判别法和根值判别法积分判别法第二节正项级数第十一章无穷级数小结思考题作业21.定义1nnu正项级数nsss212.收敛的充要条件单调增加数列这时,只可能有两种情形:.nsssnnlim,)1(时当n.1必发散级数nnu,}{)2(有上界若ns)(正常数即ns正项级数及其审敛法0nu一、有界性准则正项级数3定理1(有界性准则))(ssn注正项级数可以任意加括号,其敛散性不变,对收敛的正项级数,其和也不变.正项级数及其审敛法正项级数收敛部分和所成的数列ns有上界.正项级数4例1判定的敛散性.1121nn解121n1211211212nnSn2121212n211由定理1知,故级数的部分和可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定.正项级数及其审敛法,21n1该正项级数收敛.这个例启示我们:判定一个正项级数的敛散性,由于正项级数收敛部分和所成的数列ns有界.正项级数5证定理2nnuuus21且1nnv设nnvu即部分和数列有界.1nnunvvv21正项级数及其审敛法,nnvu若则1nnv收敛1nnu收敛1nnu发散1nnv发散收敛0二、比较判别法正项级数6nns则)(nsn设nnvu且不是有界数列1nnv定理证毕.1nnu发散1nnv发散发散推论11nnu若正项级数(发散)收敛(),0nnvkunNk且0(,0)nnkuvk1nnv则收敛(发散)证,0nnvu若正项级数7注意：对于正项级数11,nnnnuv1212,0,,,nnncccvucvnN若使则11,nnnnuv同时收敛，同时发散。推论2比较判别法的不便:须有参考级数.正项级数8解,1p设级数则p,1p设10pnpppnns131211nnppxxxx121dd1(1)(2)正项级数及其审敛法11nn调和级数发散110pnnnnpxx1d用比较审敛法发散.11npnppxnnxn11,1有时当nnpnx1d例2讨论级数ppppn131211的收敛性.)0(p正项级数9npxdx11)11(1111pnp111p,有界即ns正项级数及其审敛法ns级数则p收敛.11npn)1(p发散时当收敛时当级数,1,1ppp正项级数10(1)几何级数使用正项级数的比较判定法时,常用的比较级数正项级数及其审敛法一些级数的敛散性,作为比较的标准.需要知道(2)p-级数(3)调和级数发散时当收敛时当,1,10qqaqnn发散时当收敛时当,1,1pp11npnnnn13121111发散正项级数11例3讨论下列正项级数的敛散性.nnn3sin2)1(113)1(1)2(nnnxxxnnd1)3(1102解(1)nnnu3sin20而等比级数收敛.nn132所以,原级数收敛.n32nn32由比较审敛法正项级数及其审敛法正项级数12解因为3)1(1nnun23101n而132)1(1nn是发散的p-级数.所以,原级数nn321正项级数及其审敛法13)1(1)2(nnn发散时当收敛时当级数,1,1ppp,11npn发散.2由比较审敛法正项级数13解因为xxnd101231nn又123p所以,原级数xxxunnd110223132nxxxnnd1)3(11020收敛.p-级数,收敛.由比较审敛法正项级数及其审敛法正项级数14例4讨论下列正项级数的敛散性.ln211211(1);(2);(3)1lnnnnnnnnnana（1）提示：110,22nnnn时（2）提示：211nnnaaana1时,0u21nnnaaana1时,0u112an时,u正项级数15(3)提示:lnln(ln)2lnn,nnnnn充分大时正项级数16,11都是正项级数与设nnnnvu如果,limlvunnn则,0)1(时当l,0)2(时当l,)3(时当l比较判别法的极限形式定理3,1收敛若nnv;1收敛则nnu,1发散若nnv.1发散则nnu正项级数及其审敛法两级数有相同的敛散性;正项级数17比较判别法的实质是时当,0,0nnvu.通项无穷小比阶11,,)1(nnnnnnvuvu和两个级数是同阶无穷小若;敛散性相同,)2(的高阶无穷小是若nnvu,1收敛时则级数nnv;1必收敛级数nnu,)3(的低阶无穷小是若nnvu,1发散时则级数nnv.1必发散级数nnu正项级数及其审敛法正项级数18证lvunnnlim)1(由02l对于,N,时当Nn22llvullnn)(232Nnvluvlnnn即由比较审敛法的推论,得证.,0)1(时当l两级数有相同的敛散性,limlvunnn正项级数19例5讨论下列正项级数的敛散性.2154321nnnn（1）1(2)1cosnn21ln(3)nnn提示：1nn取v正项级数201(2)1cos.nn判定级数的敛散性解nncos1lim而级数2121nn122121nn收敛故级数1cos1nn12cos12xx～0x正项级数及其审敛法收敛.级数的pp22n2正项级数2121ln(3).nnn判定级数的敛散性解2lnlimnnn231nnnnlnlim0而级数收敛,1231nn.ln12收敛故nnn正项级数及其审敛法,limlvunnn,0时当l,1收敛若nnv收敛则1nnu正项级数22证,0对,N,时当Nnnnuu1有定理5达朗贝尔,1717–1783,法国数学家、力学家、哲学家,1nnu设nnnuu1lim,1时)(1Nnuunn即(1)正项级数及其审敛法三.比值判别法(达朗贝尔判定法)和根值判别法AlembertD,收敛发散)0(nu方法失效1nnu1nnu111正项级数231,1NNruu23NNruu,.,1nnu收敛级数因此也收敛.由(1)式的,3Nur12NNruu,2Nur321NNNuuu级数左边相加,的各项小于右边相加收敛的等比级数)1(r公比NNNururru32的对应项,所以321NNNuuu由性质3,得)(1Nnuunn(1)正项级数及其审敛法r使右边,正项级数24,1时当,1取,1r使,时当Nn,1nnnuruunnulim发散由(1)式的发散级数11nn收敛级数121nn如,1时当比值审敛法失效.正项级数及其审敛法)(1Nnuunn(1)左边,0nnnuu1lim1正项级数25比值判别法(达朗贝尔判定法)可改为：AlembertD,,1nnu设)0(nu,N当nN时,11(1)1,;nnnnuquu则收敛11(2)1,.nnnnuuu则发散正项级数262.若用比值判别法判定级数发散注3.一旦出现ρ=1要用其它方法判定.级数的通项un不趋于零.后面将用到这一点.nnnuu1lim或不存在时,正项级数及其审敛法4.条件是充分的,1.适用于中nunn或关于含有!的若干连乘积(或商)但非必要.,1nnu由)0(nu收敛1lim1nnnuu形式.,)1(时正项级数27nn2)1(212)1(2nnn级数nnuu1但nna2lim12limnnannnnnauulimlim112)1(2nnn如：级数n23正项级数及其审敛法收敛))1(2(2)1(21nnna6123不存在,1nnu由)0(nu收敛1lim1nnnuu正项级数28比值判别法的优点:不必找参考级数.由级数本身就能断定敛散性.例6判定下列级数的敛散性13!(1),nnnnn1(2),(,0)nsnsn解：3!(1)nnnnun1113(1)!3limlim1(1)3!nnnnnnnnunnunne1!.3nnnnn故级数发散正项级数29(2)nnsun11limlim(1)nsnsnnnnunun111,;1,nnssnnnn当0时收敛当时发散;11111,1,;1,01,ssnnssnn当时收敛当时发散.正项级数30例7证明:级数发散.1!nnnnne证nnuu1nnne1nne11因,e故.11nnuu从而.1nnuu.0limnnu由级数收敛的必要条件,正项级数及其审敛法知级数发散.!)1()!1(11nennnennnnnn11正项级数31例8判别级数1111123456(21)2nn的敛散性.解：令1(21)2nunn，则1limnnnuu(21)2lim1(21)(22)nnnnn，比值审敛法此时失效．但注意到211(21)2nnn，而级数211nn收敛，所以级数11(21)2nnn收敛．32这里用比值法判断级数的收敛性时,nnuu1虽然如此,也还能利用比值,正项级数及其审敛法求出比值的极限为1,比值审敛法失效.从而得到一般项不收敛于零.因为恒大于1,正项级数33,1,1nnn设级数如n1)(0n级数收敛.定理6柯西(Cauchy)(法)1789–1857适用于:以n为指数幂的因子正项级数及其审敛法2.根值审敛法(柯西判别法),1nnu设收敛发散)0(nu方法失效1nnu1nnu111nnulimnnn1nnun正项级数34根值判别法(柯西判别法)也可改为：,1nnu设)0(nu,N当nN时,(1)1,;nnnnuqu=1则收敛(2)1,.nnnnuu=1则发散正项级数35注意：1,,nnu判断的敛散性时若能用比值判别法则一定可用根值判别法,反之不然.1lim,limnnnnnnuauau即,若则正项级数36注1.根值法条件是充分的,但非必要.正项级数及其审敛法,1nnu由)0(nu收敛1limnnun,11nnnnbbaa设)0,0,,2,1(nnban11;,)1(:nnnnab收敛则收敛若证明11.,)2(nnnnba发散则发散若111111nnnnnnnnabaaaabbbb正项级数37例9讨论级数的敛散性.annnn112解因为annn12lima21所以,当a0时,a21级数收敛