11-标量衍射理论3-衍射的角谱理论菲涅耳

u(P,t)=a(P)cos[2pnt-j(P)]U(P)=a(P)ejj(P)xykzyxtTzTyTxTtPtppjpn22)(2p2k平面波在x和y方向的空间频率:cos;cosyxffcos,cos为波矢的方向余弦平面波传播方向在xz平面,与z轴夹角为q,则此平面波复振幅沿x方向的空间频率为:qsin空间频率的单位:cm-1,mm-1,周/mm,条数/mm,lp/mm等复振幅分布的角谱:xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱,其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示平面波的复振幅分布：)]coscos(exp[),(yxjkAyxU)](2exp[),(yfxfjAyxUyxp§2-2复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用EffectofDiffractionApertureonAngularSpectrum孔径的复振幅透过率：t(x0,y0)=1在∑内0其它由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。Ui(x0,y0)Ut(x0,y0)光场通过衍射屏后的变化：Ut(x0,y0)=Ui(x0,y0)t(x0,y0)角谱的变化：At(fx,fy)=Ai(fx,fy)T(fx,fy)F.T.§2-2复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用Ui(x0,y0)Ut(x0,y0)例:单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔,求角谱的变化At(fx,fy)=d(fx,fy)T(fx,fy)=T(fx,fy)角谱展宽孔径限制了入射波面的范围,展宽了入射角谱故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。Ai(fx,fy)=d(fx,fy)Ui(x0,y0)=1T(fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy)t(x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b)(2)衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P的复振幅U(P)能否用光场中各源点的复振幅表示出来。PPU§2-3标量衍射的角谱理论几何阴影区平面波入射衍射现象§2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式(2)1.惠更斯包络作图法(1678):从某一时刻的波阵面求下一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射,也能预见光在通过简单孔径时的衍射现象.但它只能判断光的传播方向,不能定量计算.衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P的复振幅U(P)能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。PPU§2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式2.菲涅耳子波干涉说(1818):子波间应当互相干涉,并且应当考虑不同方向子波的差异.—惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理:波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个与原波频率相同的子波.此后空间任何一点的光振动是这些子波叠加的结果.其数学表述为:dsreKPUcPUjkr)()()(0q常数幅相因子倾斜因子球面子波表达式源点光扰动U(P0)ds:球面子波的振幅相干叠加观察点(场点)复振幅球面子波源§2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式源波阵面源点处的面元法线场点源点到场点的距离所考虑的传播方向与面元法线的夹角源点dsreKPUcPUjkr)()()(0q成功:可计算简单孔径的衍射图样强度分布.局限:难以确定K(q).无法引入-p/2的相移dsreKPUcPUjkr)()()(0q惠-菲原理dsrePUjPUjkr2)'cos()cos()(1)(0rn,rn,基尔霍夫衍射公式基尔霍夫边界条件§2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式在单色点光源照明平面孔径的情况下:∑P0nP’Prr'常数幅相因子1/j自动出现，K(q)函数形式确定§2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式随近似程度的不同,将衍射现象分为菲涅耳衍射和夫琅和费衍射.在傍轴近似下20202)()(yyxxzr基尔霍夫衍射公式dsrePUjPUjkr2)'cos()cos()(1)(0rn,rn,12)'cos()cos(rn,rn,§2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳衍射公式略去(x-x0)/z和(y-y0)/z的二次以上的项,则202021211zyyzxxzr在振幅部分取r的一级近似,位相因子用r的二级近似,代入基尔霍夫公式,即得菲涅耳衍射公式0020200,0,])()[(2exp)()exp(1)(dydxyyxxzkjyxUjkzzjyxU在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。§2-3标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题coscosexp),cos,cos(),cos,cos(jkzAzAxyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：注意fx=cos/,fy=cos/，上式可写为:222201exp),(),(yxyxyxffjkzffAffA这就是衍射现象的频域（角谱）表达式。衍射现象的传递函数：22221exp),(yxyxffjkzffH§2-3标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题)cos()cos()]coscos(exp[),cos,cos(),,(pddyxjzAzyxUxyz平面的光场分布按其角谱展开：coscosexp),cos,cos(),cos,cos(jkzAzAxyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：yxyxyxyxdfdfyfxfjffzjffAzyxU)](exp[)exp(),,(),,(pp综合得到（注意fx=cos/,fy=cos/):00000000)](2exp[)0,,()0,,(dydxyfxfjyxUffAyxyxp§2-3标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题yxyxyxdfdfdydxyyfxxfjffzjyxUzyxU0000222200)]}()([2exp{)12exp()0,,(),,(ppxyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：即为普遍的衍射公式。使用时需要化简。在不同的近似条件下，可以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式x0y0yxz§2-3标量衍射的角谱理论3、菲涅耳衍射公式近似条件：2max02max0yxz孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度2max2maxyxz只对轴附近的一个小区域内进行观察)(21112222222yxyxffff适合于菲涅耳衍射区1cos,1cos00zyyfzxxfyx§2-3标量衍射的角谱理论3、菲涅耳衍射公式000022000)]}()([2exp{)](exp[)0,,()exp(),,(dydxdfdfyyfxxfjffzjyxUjkzzyxUyxyxyxpp衍射公式变为：利用高斯函数的傅里叶变换和F.T.的缩放性质：yxzjzjdfdfyfxfjffzjyxyxyxpppexpexpexp得到菲涅耳衍射的空域表达式：002020000]})()[(exp{)0,,()exp(),,(dydxyyxxzjyxUzjjkzzyxUp§2-3标量衍射的角谱理论3、菲涅耳衍射公式：卷积形式002020000]})()[(exp{)0,,()exp(),,(dydxyyxxzjyxUzjjkzzyxUp菲涅耳衍射的空域表达式：可以写为：002020000]})()[(exp{),()exp(),(dydxyyxxzjyxUzjjkzyxUp其中,脉冲响应函数为:)(2exp)exp(1),(22yxzkjjkzzjyxh),(),(),(0yxhyxUyxU或写成卷积式:§2-3标量衍射的角谱理论3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式dydxyyxxzjyxUzjjkzzyxU]})()[(exp{),,()exp(),,(p由菲涅耳衍射的空域表达式：把指数中的二次项展开，还可表示为0000202000022)](2exp[)](2exp[),()(2exp[)exp(),(dydxyzyxzxjyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxUpzyfzxfyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxUyx,)](2exp[),()(2exp[)exp(),(202000022即为菲涅耳衍射的傅里叶变换表达式：§2-3标量衍射的角谱理论3、菲涅耳衍射公式：频域形式222201exp),(),(yxyxyxffjkzffAffA由衍射现象的频域（角谱）表达式：衍射现象的传递函数：22221exp),(yxyxffjkzffH在菲涅耳近似下，传递函数可写为:)](exp[)exp(),(22yxyxffzjjkzffHp)](exp[)exp(),(),(220yxyxyxffzjjkzffAffAp得到菲涅耳衍射的频域表达式：§2-3标量衍射的角谱理论菲涅耳衍射公式菲涅耳近似或傍轴近似条件:1])()[(8max322020zyyxxk221202max20203)(4)()(4LLyyxxzpp即观察距离z满足：zmax20200)(yxL孔径的最大尺寸max221)(yxL观察的最大区域FresnelDiffraction:Summary菲涅耳衍射的三种表示U(x0,y0)*hF(x,y)=U(x,y))(2exp)exp(1),(22yxzkjjkzzjyxhF.T.F.T.F.T.A0(fx,fy)HF(fx,fy)=A(fx,fy))(exp)exp(22yxffzjjkzpF.T.表达)(2exp),(202000yxzkjyxUU(x,y)F.T.zyfzxfyx,空域孔径平面脉冲响应观察平面cos,cosyxff频域菲涅耳衍射：例题—泰伯效应P48:2.12余弦型振幅光栅的复振幅透过率为dxbaxtpcos式中，d为光栅周期，ab0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下列各数值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。（式中zT称作泰伯距离）dbazzdzzTdzzTdzzTTz（1）（2）（3）解：采用菲涅耳衍射的频域表达式1,)()(2)()(000dfffffbfafTxxxxddd输入频谱：菲涅耳衍射的传递函数:)exp()exp()(2xxzfjjkzfHp此传递函数对平面波分量只引起相移菲涅耳衍