13二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

数学《教·学案》授课人：邱瑶时间：10月15日课题二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课型复习课时数3教学目标1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.重点解决简单的二元线性规划问题难点解决简单的二元线性规划问题教学方法自主合作探究教学媒体PPT环节教学过程学生活动设计意图课堂自主导学知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)梳理知识，加强记忆。帮助学生构建知识网络。可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(×)(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(√)(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(√)(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0,0)B．(－1,1)C．(－1,3)D．(2，－3)解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C．答案C3．直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个知识点辨析。自测，查找认识误区。解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且其斜率k＝－2＜kAB＝－43，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．答案B4．(2014·天津卷)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为()A．2B．3C．4D．5解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z＝x＋2y，得y＝－12x＋12z，12z的几何意义是直线y＝－12x＋12z在y轴上的截距，要使z最小，需使12z最小，易知当直线y＝－12x＋12z过点A(1,1)时，z最小，最小值为3，故选B．答案B5．(2014·安徽卷)不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________.解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由x＋3y－2＝0，x＋2y－4＝0得x＝8，y＝－2.自我检测。初步运用知识，总结题型方法，查漏补缺。∴A(0,2)，B(2,0)，C(8，－2)．直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4,0)．因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×2＋12×2×2＝4.故答案为4.答案4知识运用导练考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A．43，＋∞B．(0,1]C．1，43D．(0,1]∪43，＋∞(2)若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A．73B．37C．43D．34会画平面区域，并解决简单的问题。规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以解析(1)不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A，B两点的坐标分别为23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a的a的取值范围是0＜a≤1或a≥43.(2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D12，52.当y＝kx＋43过点12，25时，52＝k2＋43，所以k＝73.答案(1)D(2)A【训练1】(1)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．A．12B．1C．32D．2(2)在平面直角坐标系中，若不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5B．1C．2D．3解析(1)在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及x＋y－3≤0，x－2y－3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.(2)不等式组x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0所围成的平面区域如图．变式训练。巩固提高，总结方法规律。∵其面积为2，∴|AC|＝4，从而C点坐标为(1,4)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝3，故选D．答案(1)B(2)D考点二简单线性目标函数的最值问题【例2】(1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件x＋y－1≥0，x－y－1≤0，x－3y＋3≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A．8B．7C．2D．1(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件x＋y≥a，x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3解析(1)约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x＋2y，得y＝－12x＋z2，z2为直线y＝－12x＋z2在y轴上的截距，要使z最大，则需z2最大，所以当直线y＝－12x＋z2经过点B(3,2)时，z最大，最大值为3＋2×2＝7，故选B．(2)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中Aa－12，a＋12.由z＝x＋ay得y＝－1ax＋za.掌握线性规划最值问题。规律方法(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．解决由图可知当－1≤－1a≤1时，z可取得最小值，此时a≥1或a≤－1.又直线y＝－1ax＋za过A点时，z取得最小值，因此a－12＋a×a＋12＝7，化简得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5，当a＝3时，经检验知满足题意；当a＝－5时，目标函数z＝x＋ay过点A时取得最大值，不满足题意，故选B．答案(1)B(2)B【训练2】(1)若x，y满足条件3x－5y＋6≥0，2x＋3y－15≤0，y≥0，当且仅当x＝y＝3时，z＝ax＋y取最大值，则实数a的取值范围是()A．(－23，35)B．(－∞，－35)∪(23，＋∞)C．(－35，23)D．(－∞，－23)∪(35，＋∞)(2)(2014·湖南卷)若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥1，则z＝2x＋y的最大值为________.变式训练，这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．解析(1)不等式组3x－5y＋6≥0，2x＋3y－15≤0，y≥0所围成的平面区域如图：因为目标函数z＝ax＋y，仅在(3,3)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率k＝－a需满足－a＜35，且－a＞－23，即－35＜a＜23.(2)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC的内部及其边界，由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.当直线y＝－2x＋z过B点时，z最大．由x＋y＝4，y＝1，得B(3,1)，因此，当x＝3，y＝1时，zmax＝2×3＋1＝7，故答案为7.答案(1)C(2)7考点三实际生活中的线性规划问题【例3】某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()注意逆向思维。A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元解析设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为x＋y≤21，y－x≤7，36x＋60y≥900，x、y∈N，目标函数为z＝1600x＋2400y.画出可行域：如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝36800(元)．答案C【训练3】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50解析设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时规律方法线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按求最优解的步骤解决．x，y满足条件x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x≥0，y≥0，画出可行域如图，得最优解为A(30,20)，故选B．答案B微型专题非线性目标函数的最值问题与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)|Ax＋By＋C|A2＋B2表示点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离；(4)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(5)y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．【例4】实数x，y满足x－y＋1≤0，x＞0，y≤2.(1)若z＝yx，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．将实际问题抽象为数学问题。解由x－y＋1≤0，x＞0，y≤2作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．由x－y＋1＝0，y＝2得B(1,2)，∴kOB＝21＝2，即zmin＝2，∴z的取值范围是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原