13反证法教案(北师大版选修2-2)

§3反证法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现间接证明的方法——反证法，探索反证法原理；(2)掌握反证法证题的基本步骤及利用反证法证明相关的数学问题．2．过程与方法通过对具体命题的证明及探究，培养学生逆向思维能力；培养学生揭示反证法本质特征的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对具体数学命题的证明方法的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会“正难则反”这一解决问题的策略．(2)通过本节学习和运用实践，体会反证法的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方法解决问题、认识世界．●重点难点重点：了解反证法的思考过程和特点；运用反证法证明数学问题；难点：对反证法思考过程和特点的概括．教学时应根据具体问题的分析与探究，揭示何时考虑用反证法解决问题，并通过对不同问题的探究与解决揭示反证法的思维特点及理论支持，归纳反证法解决问题的一般步骤，从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议学生从初中开始就对反证法有所接触．反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的难点．究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维．因此，本节课的教学需解决好以下三个问题：一是反证法适用于什么情形；二是反证法的理论依据；三是反证法证明命题的一般步骤．●教学流程创设问题情境，引出问题：已知a是整数，2能整除a2，求证：2能整除a.⇒学生探究、自主解决：通过学生运用综合法、分析法等尝试以及师生交流，揭示问题从正面解决的困难.⇒通过引导学生对结论的分析，尝试证明结论的反面不正确，从而得出结论正确.即反证法.⇒通过例1及变式训练，使学生掌握反证法的一般步骤.⇒通过例2及变式训练，使学生提高对“结论”的分析能力，能正确的反设结论.⇒通过例3及变式训练，提高学生综合运用各种证法证明问题的能力和分析问题的能力.⇒归纳小结，整体认识反证法原理和应用步骤.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点)2.理解反证法的概念及思考过程和特点．(难点)3.掌握反证法证题的基本步骤及利用反证法证明相关的数学问题．(重、难点)反证法【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一颗树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”1．王戎的论述运用了什么推理思想？【提示】实质运用了反证法的思想．2．反证法解题的实质是什么？【提示】否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．1．反证法的概念在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一.我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法.反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题步骤用反证法证明命题的一般步骤“肯定”与“否定”型命题设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法，证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用之．【自主解答】假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．2．常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在求证：2，3，5不可能成等差数列．【证明】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5.所以(23)2＝(2＋5)2，化简得5＝210，从而52＝(210)2，即25＝40，这是不可能的．所以，假设不成立．从而，2，3，5不可能成等差数列．“至多”、“至少”型命题已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．【思路探究】假设三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点→演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾→原命题得证【自主解答】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得：4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0.∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.∴a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．1．写出结论的正确反设是解决本题的关键．2．反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围．【解】若三个方程都无实根，根据Δ1＝4a2－4－4a＋3＜0，Δ2＝a－12－4a2＜0，Δ3＝2a2－4－2a＜0，解得－32＜a＜12，a＜－1或a＞13，－2＜a＜0，∴－32＜a＜－1.则满足题目要求a的取值范围是{a|a≤－32或a≥－1}.“唯一”型命题已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．【思路探究】“有且只有”有两层含义：一是“有”，即存在性；二是“只有”，即唯一性．一般先证存在性，再用反证法证唯一性即可．【自主解答】由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝ba.假设方程不止一个根，则至少有两根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，则ax1＝b，①ax2＝b，②①－②得a(x1－x2)＝0，因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，从而a＝0，这与已知条件矛盾，故假设不成立．所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根.1．“唯一型”问题的证明一般需两步完成：一是证存在性；二是证唯一性．2．结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论容易导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．求证：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．【证明】已知：平面α和一点P，求证：过点P与α垂直的直线只有一条．证明：如图，不管P在α内或α外，设PA⊥α，垂足为A(或P)，假设存在另一条直线PB⊥α，设PA，PB确定平面为β，且α∩β＝a.∴在平面β内过P点有两条直线PA、PB垂直于直线a.这与定理“在平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”矛盾．∴假设不成立，命题结论正确．不能对结论全面否定而致误否定“自然数a，b，c恰有一个偶数”时正确反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中或都是奇数或至少两个偶数【错解】恰有一个偶数的反面是一个偶数也没有，即a，b，c都是奇数，故选A.【错因分析】没有对结论“a，b，c恰有一个偶数”做出全面分析，仅凭“相当然”进行否定，从而致误．【防范措施】对结论进行否定时，应对结论描述的问题进行全面分析，然后从集合理论中补集的角度进行否定．【正解】a，b，c中偶数的个数可能为0个，1个，2个或3个，而“恰有1个偶数”的反面应是“有0个或2个或3个偶数”，故应选D.【答案】D1．当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型命题时，常用反证法．2．用反证法证明的一般过程是：(1)否定结论⇒A⇒B⇒C；(注意分清命题和结论后，再否定结论)(2)而C不合理与教材公理抵触；与此前定理不相容；与本题题设冲突；与临时假定违背；自相矛盾；(3)因此结论C不成立，原命题正确.1．如果两个数之和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数【解析】“两个数之和为正数”可能为“一个是正数，一个是负数”，“两个都是正数”“一个是正数，一个是零”即“至少有一个是正数”．故选C.【答案】C2．有下列叙述：①“ab”的反面是“ab”；②“x＝y”的反面是“xy或xy”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝角”，其中，正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】显然①③④不正确，仅②正确．【答案】B3．(改编题)完成下面反面论证题的全过程：题目：若p1p2＝2(q1＋q2)，则关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与方程x2＋p2x＋q2＝0中至少有一个方程有实根．证明假设________________．则Δ1＝p21－4q10，Δ2＝p22－4q20，即0≤p214q1,0≤p224q2，∴(p1p2)216q1q2≤16·(q1＋q22)2＝4(q1＋q2)2.∴－2(q1＋q2)p1p22(q1＋q2)，这与________矛盾．故假设错误，原命题为真．【答案】两方程都没有实数根已知p1p2＝2(q1＋q2)4．求证：△ABC中至少有一个内角大于或等于60°.【证明】假设△ABC中三内角都小于60°，则A60°，B60°，C60°，所以A＋B＋C180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误，原命题正确.一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】“至多一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”，故选B.【答案】B2．实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是()A．a，b，c都是0B．a，b，c都不是0C．a，b，c中至少有一个0D．a，b，c不可能均为正数【解析】若a，b，c均为正数，则a＋b＋c0与a＋b＋c＝0矛盾，故a，b，c不可能均为正数．【答案】D3．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②ab与ab及a＝b中至少有一个成立；③a＝c，b＝c，a＝b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】“a，b，c不全相等是a，b，c全相等的否定”，故①②③均正确．【答案】D4．设x、y、z0，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a、b、c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【解析】假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c6，而事实上：a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，∴a、b、c中至少有一个不小于2.【答案】C5．已知a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b()A．都能被5整除B．最多有一个能被5整除C．至少有一个能被5整除D．都不能被5整除【解析】假设都不能被5整除，可设a＝5m＋1，b＝5n＋2(m，n∈N)，则ab＝25mn＋10m＋5n＋2显然不能被5整除，(其它情形同理可证)这与已知矛盾，故假设不成立，故C正确．【答案】C二、填空题6．将“函数