144量子力学的建立和哥本哈根解释

大学物理电子教案思想方法自然界在许多方面都是明显地对称的，他采用类比的方法提出物质波的假设。“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于‘粒子’的图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？”法国物理学家德布罗意（LouisVictordeBroglie1892–1987)14.4量子力学的建立及哥本哈根解释大学物理电子教案假设:实物粒子具有波动性。Ehhp波动性(,v)粒子性(m,p)光++实物粒子？+一.粒子的波动性——德布罗意假设(1924年)2Emchhpmv频率波长2201/hhcmmvvv220221/mcmchhcv和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。大学物理电子教案革末—戴维孙电子散射实验(1927年)，观测到电子衍射现象。X射线电子束（波长相同）衍射图样电子双缝干涉图样物质波的实验验证：杨氏双缝干涉图样大学物理电子教案计算经过电势差U1=150V和U2=104V加速的电子的德布罗意波长（不考虑相对论效应）。例解2012meUv02eUmv0011.225nm2hhmmeUUv10.1nm20.0123nm根据，加速后电子的速度为根据德布罗意关系p=h/λ，电子的德布罗意波长为波长分别为说明观测仪器的分辨本领1.22DR电子波波长光波波长电子显微镜分辨率远大于光学显微镜分辨率大学物理电子教案1925年24岁的德国物理学家海森伯(WernerKarlHeisenberg)在德国物理学家43岁的波恩(MaxBorn)和23岁的约尔丹的帮助下创立矩阵量子力学，对运动学和力学的各个方面给出量子论的解释。二.量子力学的建立量子力学建立于1923~1927年间，两个等价的理论——矩阵力学和波动力学。相对论量子力学（1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程。海森伯大学物理电子教案2π()()00(,)eexiitEtpxΨxtΨΨ微观粒子具有波动性用物质波波函数描述微观粒子的波动性1925年薛定谔例如自由粒子沿x轴正方向运动，由于其能量、动量为常量，所以v、不随时间变化，其物质波是单色平面波，波函数为1.物质波的波函数大学物理电子教案2.薛定谔方程（1925年）自由粒子薛定谔方程的建立上式取x的二阶偏导数和t的一阶偏导数得ΨhpxΨ22222π4EΨhtΨπ2i自由粒子)c(vkEEk22mEptΨhxΨmhπ2iπ82222一维运动自由粒子的含时薛定谔方程自由粒子平面波函数)pxEt(h)t,x(Ψπ2i0e大学物理电子教案tΨhΨtxExΨmhπ2i),(π8p2222一维运动粒子的含时薛定谔方程若粒子在势能为的势场中运动pkEEEpE质量为m的粒子在势场中运动的波函数),(txΨΨ)(ppxEE粒子在恒定势场中的运动hEtxtxtxΨ/π2i0e)()()(),(在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程0)()(π8ddp2222xEEhmx大学物理电子教案0)(π8p22222222EEhmzyx在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程拉普拉斯算子2222222zyx0)(π8p222EEhm定态薛定谔方程定态波函数),,(zyx大学物理电子教案波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的.1ddd,,2zyxzyx1）可归一化;zyx,,2）和连续;),,(zyx3）为有限的、单值函数.1）能量E不随时间变化；2）概率密度不随时间变化.2定态波函数性质大学物理电子教案3.一维势阱问题pEaxxEax,0,0,0p粒子势能满足的边界条件pEpEaxo1）是固体物理金属中自由电子的简化模型；2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来.意义0)(π8dd2222xhmEx薛定谔方程大学物理电子教案),0(,0axxaxxE,0,p22π8hmEkaxE0,0p0π8dd2222hmEx0dd222kxkxBkxAxcossin)(波函数的标准条件：单值、有限和连续.0,0,0BxkxAxsin)(pEaxo大学物理电子教案nkaka,0sin22π8hmEk2228mahnE,3,2,1,nank量子数基态能量)1(,8221nmahE激发态能量),3,2(,8222nmahnEn一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的.0sin,kaAax0sinkapEaxo大学物理电子教案0222kxkxAxsin)(xanAxπsin)(归一化条件1dd0*2xxa1dπsin022xxanAa)0(,πsin2)(axxanax,3,2,1,nank量子数pEaxoaA2大学物理电子教案pEaxoxanaxπsin2)(22概率密度2228mahnEn能量0π8dd2222hmEx波动方程)0(,πsin2axxana)(x),0(,0axx波函数,3,2,1n量子数大学物理电子教案0x2aa1n2n3n4nn0x2aa2nxanAxπsin)(xanaxπsin2)(220pE1E14E19E116E大学物理电子教案4.对应原理在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经典规律.2218)12(mahnEEEnn势阱中相邻能级之差21,1amE能量),3,2,1(,8222nmahnEn能级相对间隔nmahnmahnEEnn288222222当时，，能量视为连续变化.n0)(nnEE大学物理电子教案例：电子在的势阱中.m100.12aeV1054.7821522nmahnE（近似于连续）当时,（能量分立）eV4.75nm10.0nEa当很大时，，量子效应不明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应.amn,,0E物理意义eV1077.38152222nmahnE大学物理电子教案5.一维方势垒隧道效应)(pxEaxx,0,0axE0,p0一维方势垒0pEE粒子的能量0pE)(pxEaox隧道效应从左方射入的粒子，在各区域内的波函数123)(xaxo大学物理电子教案123)(xaxo粒子的能量虽不足以超越势垒,但在势垒中似乎有一个隧道,能使少量粒子穿过而进入的区域,所以人们形象地称之为隧道效应.ax隧道效应的本质:来源于微观粒子的波粒二相性.量子围栏照片1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜(STM),可观测固体表面原子排列的状况.1986年宾尼希又研制了原子力显微镜.应用大学物理电子教案三.粒子波动性的物理意义——概率波经典的“波动性”和“粒子性”互不相容粒子性：不被分割的整体，有确定位置和运动轨道波动性：某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波具有相干叠加性二象性要求将“波”和“粒子”两种对立的属性统一到同一物体上.大学物理电子教案1.波由粒子组成，波动性是粒子相互作用的次级效应实验否定:电子一个个通过单缝，长时间积累也出现衍射效应。.........历史上曾有的代表性观点:大学物理电子教案2.粒子由波组成,是不同频率的波叠加而成的“波包”实验否定单个电子不能形成衍射花样介质中频率不同的波速度不同，波包应发散，但未见电子“发胖”不同介质界面波应反射，折射，但未见电子“碎片”波或粒子？“波和粒子”？在经典框架内无法统一大学物理电子教案条纹明暗分布——屏上光子数分布强度分布曲线——光子堆积曲线NNhIhE,光—光子流光的衍射：3.玻恩“概率波”说（1926年提出，1954年诺贝尔物理学奖）山重水复疑无路，柳暗花明又一村。一种崭新的观念和优美的数学方法悄然而生大学物理电子教案光强分布——光子落点概率分布,“光子波”——概率波类比：与实物粒子相联系的物质波——概率波物质波的强度分布反映实物粒子出现在空间各处的概率亮纹：光子到达概率大次亮纹：光子到达概率小暗纹：光子到达概率为零起点，终点，轨道均不确定只能作概率性判断设想：是如何运动的？光子一个个通过，光子光强,I通过某缝到达屏上某点通过哪个缝落到哪一点？不确定！大学物理电子教案波函数的物理意义：2|(,)|Ψrt——t时刻，粒子在空间r处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度2*d|(,)|d(,)(,)dWΨrtVΨrtΨrtV(1)时刻t,粒子在空间r处dV体积内出现的概率2|(,)|ddd1Ψrtxyz(2)归一化条件(粒子在整个空间出现的概率为1)(3)波函数必须单值、有限、连续概率密度在任一处都是唯一、有限的,并在整个空间内连续大学物理电子教案电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000(4)单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律。出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样大学物理电子教案物理学的“决定论”物理学统治着整个宇宙，它的过去和未来，一切都尽在掌握。这已经成了几百年来物理学家心中深深的信仰。19世纪初，法国科学家拉普拉斯将他用牛顿方程计算出的行星轨道展示给拿破仑。拿破仑问道：“在你的理论中，上帝在哪儿呢？”拉普拉斯平静地回答：“陛下，我的理论不需要这个假设。”玻恩在论文中写道：“这里出现的是整个决定论的问题。”决定论在20世纪初首先遭到了量子论的严重挑战，随后混沌动力学的兴起使它彻底被打垮。现在我们已经知道，就牛顿方程本身而言，许多系统也是极不稳定的，任何细小的干扰都能对系统的发展造成极大的影响，差之毫厘，失之千里，以至于无法预测。典型的例子比如“蝴蝶效应”。大学物理电子教案微观粒子的运动具有不确定性，只能用物质波的强度作概率性描述，不遵从经典力学方程。借用经典物理量来描述微观客体时，必须对经典物理量的相互关系和结合方式加以限制。其定量表达——海森伯不确定关系。三.不确定性原理（1927年）为什么宏观世界与微观世界有如此巨大的差别？“观测行为在被测事件下所引起的那部分原则上不可控制的干扰是讨论原子现象时起决定作用的一个特征”——海森伯大学物理电子教案1.“测量”对状态的影响宏观世界：可不计及“测量”对被测对象状态的影响。1)认为自然过程是连续的，原则上可把测量干扰连续减小，限制在所需的测量精度内。2)认为客体与仪器的相互作用服从因果决定论，可以估算和控制干扰，修正测量值。测量——反映着客体、仪器和观察者的相互作用微观世界：不能不计及测量行为产生的干扰。1)以“量子化”取代连续性，作用量子h的存在规定了干扰的下限，无法超越。2)以概率性描述取代“决定论”，使对测量的干扰不可控制，不可预测，无法校正。大学物理电子教案量子现象不只属于被观测的客体，而是属于客体和仪器整体，反映的不仅仅是客体的存在和性质，而且是客体和仪器的“关系”。不同的实验装置决定了不同的可测量，显示出客体某些方面的特性而抑制其他方面的特性。显示粒子性抑制波动性显示波动性抑制粒子性大学物理电子教案所以，我们得出的各种结论不是互相排斥、对立的，而是互相补充协调的，共同揭示客体的属性。微观客体的本来面目究竟如何？已超出经验范围，用经典概念和语言来描述只能是互补性的，不确定关系就是对互补原理的数学表述。类比：相对论中，长度、寿命、质量的测量结果反映了客体与作为参考的惯性系间的关系。仅在“课堂”条件下观察，不可能了解某同学在运动方面的特长。大学物理电子教案玻尔的“互补原理”（1928年）•1928年，尼尔斯·亨