1415-2电磁场理论B-3静电场及其边值问题的解法

第3章静电场及其边值问题的解法3-1第3章静电场及其边值问题的解法3.1静电场的基本方程与边界条件3.2电位及其电位方程3.3静电场的能量和导体的电容3.4静电场边值问题的分类以及唯一性定理3.5直接积分法3.6分离变量法3.7镜像法3.8静电场的数值解法《电磁场理论B》3-2基本要求♥掌握静电场的基本方程和边界条件；♥掌握电位的基本概念，会利用直接积分法求解简单的问题；♥了解分离变量法的基本概念；♥会利用镜像法求解平面与导体球的镜像问题。第3章静电场及其边值问题的解法第3章静电场及其边值问题的解法《电磁场理论B》3-3第3章静电场及其边值问题的解法第3章静电场及其边值问题的解法★静电场——由静止电荷所产生的电场。★时变电磁场的退化情形。★基本方程：无磁场；场量不随时间变化。★静电场边界条件也可从时变场边界条件导出。★静电场边值问题=求解满足一定边界条件的微分方程。★静电场边值问题的分析方法（解析方法、数值方法）可推广。静电场的基本概念《电磁场理论B》3-43.1静电场的基本方程与边界条件3.1.1静电场的基本方程静电场基本方程的积分形式第3章静电场及其边值问题的解法（3.1.1）（3.1.2）★基本方程：无磁场；场量不随时间变化。★静电场基本方程的积分形式也可以由库仑定律证明。《电磁场理论B》3-53.1静电场的基本方程与边界条件3.1.1静电场的基本方程静电场基本方程的积分形式第3章静电场及其边值问题的解法（3.1.1）（3.1.2）★方程（3.1.1）为静电场的环量定律：试验电荷在静电场中绕闭合回路移动一圈，电场力所做功为零。任意闭合导电回路无感应电动势。★方程（3.1.2）为静电场高斯定律：穿过任一闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷。《电磁场理论B》3-63.1静电场的基本方程与边界条件静电场基本方程的微分形式第3章静电场及其边值问题的解法★静电场的微分方程形式可从麦克斯韦微分方程组导出。★可用高斯定理和斯托克斯定理从静电场方程的积分形式导出。★可用矢量恒等式对体电荷的库仑定律求旋度和散度而得到。（3.1.3）（3.1.4）3.1.1静电场的基本方程《电磁场理论B》3-73.1静电场的基本方程与边界条件3.1.1静电场的基本方程静电场基本方程的微分形式第3章静电场及其边值问题的解法★方程（3.1.3）描述静电场的旋度特性：静电场是无旋场。电力线不闭合。★方程（3.1.4）描述静电场的散度特性：静电场是有散场。电力线从正电荷（或无穷远）出发终止于负电荷（或无穷远）。（3.1.3）（3.1.4）《电磁场理论B》3-83.1静电场的基本方程与边界条件静电场边界条件的基本概念第3章静电场及其边值问题的解法静电场媒质：主要有电介质（以极化现象为主的物质）和导体（以传导现象为主的物质）。电介质内部无自由电荷，而导体有大量自由电荷；在静电平衡状态，导体总电荷及其内部电场为零，电荷只能分布在导体的表面；静电场的边界条件：不同电介质的分界面、电介质与导体的分界面。3.1.2静电场的边界条件《电磁场理论B》3-93.1静电场的基本方程与边界条件第3章静电场及其边值问题的解法3.1.2静电场的边界条件1.不同电介质的分界面的边界条件★不同电介质的分界面上不存在自由面电荷，即——分界面上的正法线单位矢量，其方向规定由第2种电介质指向第1种电介质。★静电场中的不同电介质分界面上，电场强度的切向分量和电位移的法向分量均连续。《电磁场理论B》3-103.1静电场的基本方程与边界条件第3章静电场及其边值问题的解法3.1.2静电场的边界条件2.导体与电介质分界面的边界条件★导体表面电场强度的切向分量等于零，即电力线总是垂直于导体表面。★导体表面电位移的法向分量等于导体表面的面电荷密度。★导体内部电场为零，表面存在自由面电荷——导体的外法线方向，即从导体指向电介质。《电磁场理论B》3-113.1静电场的基本方程与边界条件第3章静电场及其边值问题的解法3.1.2静电场的边界条件解：从静电场电介质分界面的边界条件可以得出将上列两式相除，得例3.1.1设静电场中有一个电介质分界面，两边介质的介电常数分别为和。已知在介质1一侧，电场强度的大小为，方向与界面正法线方向的夹角为。试求介质2一侧的电场强度的大小及其与界面正法线方向的夹角。《电磁场理论B》3-123.1静电场的基本方程与边界条件第3章静电场及其边值问题的解法3.1.2静电场的边界条件例3.1.1设静电场中有一个电介质分界面，两边介质的介电常数分别为和。已知在界面的介质1一侧，电场强度的大小为，方向与界面正法线方向的夹角为。试求介质2一侧的电场强度的大小及其与界面正法线方向的夹角。解：静电场折射定律（3.1.13）《电磁场理论B》3-133.1静电场的基本方程与边界条件第3章静电场及其边值问题的解法3.1.2静电场的边界条件例3.1.1设静电场中有一个电介质分界面，两边介质的介电常数分别为和。已知在界面的介质1一侧，电场强度的大小为，方向与界面正法线方向的夹角为。试求介质2一侧的电场强度的大小及其与界面正法线方向的夹角。解：容易解得《电磁场理论B》3-143.1静电场的基本方程与边界条件第3章静电场及其边值问题的解法3.1.2静电场的边界条件静电场折射定律（3.1.13）★在界面上电场强度的方向将会发生突变。《电磁场理论B》3-153.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度1.电位和电位差★根据场论，静电场无旋，可用一标量函数的梯度描述。★由静电场的环量定律，电场力所做功（电场沿一个开放路径的线积分）仅与路径的起、终点有关，与积分路径无关。★电位差——静电场中两点之间的电位差被定义为电场力将电荷从一点移动到另外一点是，电场力对单位电荷所作的功（与路径无关）。《电磁场理论B》（3.2.4）3-163.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度1.电位和电位差电位——将单位正电荷由某点移动至零电位点时电场力所做的功（3.2.6）——零电位参考点★电位与电位差一样，是一个标量，单位为伏特（）。《电磁场理论B》3-173.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度1.电位和电位差有限的区域内不同形式电荷分布的电位★选择无限远处为零电位参考点，有真空中的点电荷所产生电位——场点的位置矢径——点电荷所在点（源点）的位置矢径（3.2.9）《电磁场理论B》3-183.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度1.电位和电位差（3.2.10）（3.2.12）（3.2.11）点电荷系体电荷面电荷线电荷有限的区域内不同形式电荷分布的电位《电磁场理论B》3-193.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度1.电位和电位差源电荷分布区域延伸至无限远时的电位★零电位参考点不能选择在无限远处，而须选在有限远处，电位表达式应加待定常数。点电荷体电荷《电磁场理论B》3-203.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度1.电位和电位差等位面——电位相同之点组成的空间曲面★因为每一点只对应着一个确定的电位值，所每一点必属于也仅属于一个等值面。★所有的点均有等值面通过，所有的等值面均互不相交。★同一个电位值可以对应几个分离的等位面。《电磁场理论B》3-213.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度1.电位和电位差例3.2.1真空中有一圆形带电结构，如图3.2.2所示。设这个圆形带电结构分别为（1）半径为的均匀带电圆盘，其上面电荷密度为；（2）半径为的均匀带电圆环，其上的线电荷密度为，试分别计算中心垂直轴线上的电位。★圆柱坐标系中的长度元和面积元★圆柱坐标系中的距离计算★取无限远为参考点《电磁场理论B》3-223.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度2.电位梯度对体电荷所产生的电位计算梯度分布可以得到《电磁场理论B》3-233.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度2.电位梯度电场强度等于电位的负梯度。（3.2.15）★大小等于电位的梯度（最大的方向导数）。★方向指向电位减小的方向。★电力线与等位面相互垂直。★电位不唯一，取决于零电位参考点。★电场强度唯一，与零电位参考点无关。《电磁场理论B》3-243.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度例3.2.2设真空中的电偶极子由间距为的一对等值异号电荷和构成，试求远离该电偶极子的区域内的电位和电场。解：根据电位的叠加性可得其中《电磁场理论B》3-253.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度例3.2.2设真空中的电偶极子由间距为的一对等值异号电荷和构成，试求远离该电偶极子的区域内的电位和电场。解：当观察点远离电偶极子时，应用二项式展开（或平行线概念），可以近似得到《电磁场理论B》3-263.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度例3.2.2设真空中的电偶极子由间距为的一对等值异号电荷和构成，试求远离该电偶极子的区域内的电位和电场。解：远离电偶极子处的电位和电场强度《电磁场理论B》3-273.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.1电位和电位梯度例3.2.2设真空中的电偶极子由间距为的一对等值异号电荷和构成，试求远离该电偶极子的区域内的电位和电场。解：远离电偶极子的区域内的电位和电场强度的分布图《电磁场理论B》3-283.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.2电位的微分方程和边界条件1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程电位的泊松方程和拉普拉斯方程由两个微分形式基本方程和矢量恒等式可以得到《电磁场理论B》线性各向同性二阶偏微分方程3-293.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.2电位的微分方程和边界条件1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程电位的泊松方程和拉普拉斯方程均匀、线性和各向同性电介质中有源区电位的泊松方程（3.2.19）均匀、线性和各向同性电介质中无源区电位的拉普拉斯方程（3.2.20）《电磁场理论B》3-303.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.2电位的微分方程和边界条件1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程电场强度的泊松方程和拉普拉斯方程均匀、线性和各向同性电介质中有源区电场的泊松方程（3.2.21）均匀、线性和各向同性电介质中电荷均匀分布时电场强度的拉普拉斯方程（3.2.25）《电磁场理论B》均匀、线性和各向同性电介质中无源区电场的拉普拉斯方程（3.2.25）3-313.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.2电位的微分方程和边界条件1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程直角坐标系中的泊松方程和拉普拉斯方程（1.3.4）直角坐标系中电位的泊松方程和拉普拉斯方程《电磁场理论B》3-323.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.2电位的微分方程和边界条件1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程直角坐标系中的泊松方程和拉普拉斯方程（1.3.4）直角坐标系中电场强度的泊松方程和拉普拉斯方程《电磁场理论B》3-333.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.2电位的微分方程和边界条件1.电位的泊松（Poisson）方程和拉普拉斯（Laplace）方程圆柱坐标系中电位的泊松方程和拉普拉斯方程——体电荷密度《电磁场理论B》3-343.2电位及其电位方程第3章静电场及其边值问题的解法3.2.2电位的微分方程和边界条件1.电位的泊松（