高等代数【北大版】9.6

§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§8酉空间介绍§7向量到子空间的距离─最小二乘法小结与习题第九章欧氏空间§5子空间§9.6对称矩阵的标准形§9.6对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题§9.6对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．12nxxx证：设是A的任意一个特征值，则有非零向量0满足0.A§9.6对称矩阵的标准形,,AAAA其中为的共轭复数，iixx12,nxxx令0()A()A又由A实对称，有0()AA()A0()()A()A0()0§9.6对称矩阵的标准形12120nnxxxxxx由于是非零复向量，必有故00.0.R考察等式，00§9.6对称矩阵的标准形引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间上nR(),nAR定义一个线性变换如下：(),,(),则对任意有,,nR或()().AA§9.6对称矩阵的标准形1210001,,...,0001n1212(,,...,)(,,...,)nnA证：取的一组标准正交基，nR则在基下的矩阵为A，即12,,...,n任取1122,,nnnxyxyRxy§9.6对称矩阵的标准形1122...nnyyy1122...nnxxx即(),()AXY()XAY12(,,...,),nX12(,,...,),nY于是1212()(,,...,)(,,...,),nnXAX1212()(,,...,)(,,...,),nnYAY又是标准正交基，12,,...,nXAY()XAY,()§9.6对称矩阵的标准形,()().A即有(),()A(),又注意到在中,,XYnR二、对称变换1．定义(),,(),,,V则称为对称变换．设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足§9.6对称矩阵的标准形1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：2．基本性质①实对称矩阵可确定一个对称变换．一组标准正交基．11(,...)(,...)nnA事实上，设,,nnARAA12,,...,n为V的定义V的线性变换：则即为V的对称变换．§9.6对称矩阵的标准形②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．()nnijAaR12,,,n为V的一组标准正交基，事实上，设为n维欧氏空间V上的对称变换，为在这组基下的矩阵，即1212(,,,)(,,,)nnA或1122()iiininaaa1,1,2,,nkikkain§9.6对称矩阵的标准形于是1(),,nijkikjka1(,)nkikjka(,)jijjajia1,(),nijikjkka1(,)nkjikka(,)ijiiaija,,1,2,,ijjiijn即所以A为对称矩阵．由是对称变换，有(),,()ijij§9.6对称矩阵的标准形2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．对,W,W任取即(),W().W证明：设是对称变换，W为的不变子空间．要证(),W即证().W(),W由W是子空间，有(),,()0因此故也为的不变子空间．W§9.6对称矩阵的标准形1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于的特征向量．,,则(),A三、实对称矩阵的正交相似对角化是正交的．正交基下的矩阵，证：设实对称矩阵A为上对称变换的在标准nR,是A的两个不同特征值，(),A由(),,()§9.6对称矩阵的标准形又,(,)0即正交．,(定理7)对总有正交矩阵T，使,,nnARAA112(,,,).nTATTATdiag(,)(,),有(,)(,).即２．§9.6对称矩阵的标准形证：设A为上对称变换在标准正交基下的矩阵．nR由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有n个特征向量作成的标准正交基即可．n=1时，结论是显然的．对的维数n用归纳法．nR有一单位特征向量，其相应的特征值为，即111111(),||1假设n－1时结论成立，对设其上的对称变换,nR§9.6对称矩阵的标准形设子空间1(),LW显然W是子空间，,dim1nWWRWn(),(),W则也是子空间，且W又对有,,W,(),()W所以是上的对称变换．WW由归纳假设知有n－1个特征向量W23,,,n构成的一组标准正交基．W§9.6对称矩阵的标准形从而就是的一组标准正交基，123,,,,nnR又都是的特征向量．nR即结论成立．3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设,nnARAA(i)求出A的所有不同的特征值：12,,,,rR其重数必满足;12,,,rnnn1riinn(ii)对每个，解齐次线性方程组i()0iEAX§9.6对称矩阵的标准形求出它的一个基础解系：12,,,iiin它是A的属于特征值的特征子空间的一组基．iiV正交基12,,,.iiin把它们按正交化过程化成的一组标准SchmidtiV(iii)因为互不相同，12,,...r且1dim,iriWn11112112,,,,,,,,rnrrrn就是V的一组标准正交基．()ijVVij所以§9.6对称矩阵的标准形则T是正交矩阵，且11112112,,,,,,,,rnrrrn将的分量依次作矩阵T的第1，2，…，n列，使为对角形．1TATTAT例1．设0111101111011110A求一正交矩阵T使成对角形．TAT§9.6对称矩阵的标准形解：先求A的特征值．111111||111111EA21111010113(1)(3)A的特征值为（三重）,1123.20111010100111113111(1)101011§9.6对称矩阵的标准形其次求属于的特征向量，即求解方程组11()0EAX1111111111111111EA得其基础解123(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)1111000000000000§9.6对称矩阵的标准形把它正交化，得11(1,1,0,0)2122111(,)11(,,1,0)(,)22313233121122(,)(,)111(,,,1)(,)(,)333再单位化，得§9.6对称矩阵的标准形111111(,,0,0)||222221112(,,,0)||66633311113(,,,)||12121212这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量，11也即是特征子空间的一组标准正交基．1V§9.6对称矩阵的标准形再求属于的特征向量，即解方程组2331111311311311113EA111102200220020230EAX44441311113111131001010100110000得其基础解4(1,1,1,1),§9.6对称矩阵的标准形再单位化得41111(,,,)2222这样构成的一组标准正交基，它们1234,,,4R都是A的特征向量，正交矩阵1234111122612111122612(,,,)211026123100212T§9.6对称矩阵的标准形使得11.13TAT注：成立的正交矩阵不是唯一的．①对于实对称矩阵A，使12(,,,)nTATdiag而且对于正交矩阵T,还可进一步要求1.T§9.6对称矩阵的标准形事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T12(,,,),1nTATdiagT取正交矩阵(1,1,,1),Sdiag则是正交矩阵且1TTS11,TTS同时有'11()()()TATTSATSSTATS12111111n12(,,,)ndiag§9.6对称矩阵的标准形②如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的．③因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：设为实对称矩阵A的所有特征值12n(i)A为正定的0n(ii)A为半正定的0n(iii)A为负定（半负定）的110(0)§9.6对称矩阵的标准形(iv)A为不定的10且0n④实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计）．n－秩(A)是0为A的特征值的重数.§9.6对称矩阵的标准形1．解析几何中主轴问题将上有心二次曲线或上有心二次曲面通过坐标2R3R的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.四、实二次型的主轴问题2．任意n元实二次型的正交线性替换化标准形1）正交线性替换如果线性替换X=CY的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换.§9.6对称矩阵的标准形1211(,,,),,,nnnijijijjiijfxxxxxij2）任一n元实二次型都可以通过正交的线性替换变成平方和XCY221122...nnnyyy其中平方项的系数为A的全部特征值．12,,,n§9.6对称矩阵的标准形例2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是222112233121323222axayazaxyaxzayz1232220bxbybzd（1）''20.XAXBXd（2）则（1）式可以写成令111213121222323313233,,,aaabxAaaaBbXyzbaaa§9.6对称矩阵的标准形对（2）中的有正交矩阵C（且）'33AAR1C确定的坐标变换公式111213121222311313233cccxxycccyzzccc'123(,,),CACdiag曲面（1）的方程