2010中考数学试题分类汇编-直角三角形与勾股定理

1CBA（第10题）2010年中考数学试题分类汇编直角三角形与勾股定理1.（2010年四川省眉山市）下列命题中，真命题是A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直【关键词】真命题、假命题【答案】C2．（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为A．90°B．60°C．45°D．30°【关键词】勾股定理及其逆定理【答案】C3.（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为()mn的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）A．22()()4mnmnmnB．222()()2mnmnmnC．222()2mnmnmnD．22()()mnmnmn【关键词】正方形、勾股定理【答案】B4．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②1MN＝1AC＋1BC；③MN≤14AB，其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【关键词】等腰直角三角形【答案】D5、(2010福建泉州市惠安县)矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.←→→←mnmnmn图①图②第4题图2BA6cm3cm1cm第17题图【关键词】折叠【答案】5.56、(2010福建泉州市惠安县)如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．①如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要__________cm；②如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，那么所用细线最短需要__________cm．【关键词】勾股定理【答案】①10，②1767、(2010年燕山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°,AD＝1，BC＝4，求DC的长．【关键词】等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质、勾股定理【答案】如图1，分别过点A、D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．………………………………1分∴AE//DF．又AD//BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF=AD=1．……………………………………2分∵AB⊥AC，∠B=45°，BC=4，∴AB=AC．∴AE=EC=12BC=2．……………………………3分∴DF=AE=2，CF=EC-EF=1．……………………………4分在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∴DC=5CFDF22.…………………………5分8、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.ABCDEG第16题图F图1BCAD3⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为13时，求正方形的边长.【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）.⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.………………9分理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝23x，EF＝2x.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（2x）2＋（23x＋x）2＝213.解得，x＝2（舍去负值）.∴正方形的边长为2.EADBCNMFEADBCNM49、（2010年广东省广州市）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【关键词】轴对称四边形勾股定理【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝32若直线经过点B（3，1）时，则b＝52若直线经过点C（0，1）时，则b＝117.若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图25-a，此时E（2b，0）∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2此时E（3，32b），D（2b－2，1）∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)·(52b)＋12×3(32b)]＝252bbDExyCBAO图2CDBAEOxy图1DExyCBAO5∴2312535222bbSbbb（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，tan∠DEN＝12，DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1aa，∴54a∴S四边形DNEM＝NE·DH＝54∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．10.（2010年山东省济南市）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？【关键词】直角三角形、勾股定理【答案】图3HNMC1A1B1O1DExyCBAODABCE6解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，………………1’∵Rt△ABG中，∠BAD=600，AB=40，∴BG=AB·sin600=203，AG=AB·cos600=20……………….3’同理在Rt△AEF中，∠EAD=450，∴AF=EF=BG=203，……………….3’∴BE=FG=AF-AG=20(13)米.……………….1’