2010届高考模拟试题数学理科卷(01)

2010届高考模拟试题数学理科卷（01）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1、设全集U=R,集合M={x|x≤1或x≥3},集合P=R,1|kkxkx，且UMP≠，则实数k的取值范围是（）A.0＜k＜3B.k≤0或k≥3C.k3D.k02、设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A.1B.0C.-1D.0或-13、“1a”是“函数axxf)(在区间1,上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4、已知等差数列{na}的前n项和为nS，若4518aa，则8S=（）A.68B.72C.54D.905、．定义在R上的函数)(xf，如果存在函数为常数）bkbkxxg,()(，使得)(xf≥)(xg对一切实数x都成立，则称)(xg为函数)(xf的一个承托函数．现有如下命题：①对给定的函数)(xf，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②()2gxx为函数()2xfx的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数)(xf不存在承托函数．其中正确命题的序号是（）（A）①（B）②（C）①③（D）②③6、设22)1(,3005,yxxyxyxyx则满足约束条件的最大值为()A.80B.45C.25D.1727、某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案．记该同学至少答对9道题的概率为p，则p为（）A．109414341B．1010109109414341CCC．104130D．1041318、设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）二、填空题（本答题共6小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（９～１２题）9、若框图所给的程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是_________.10、在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），113BABCBDBABCBD，则四边形ABCD的面积是____.11、已知直线)0)(2(kxky与抛物线C:xy82相交A、B两点，F为C的焦点。若FBFA2,则k=__________.12、在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为________.（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题；三道题都做的，只记前两题的分）13、如图所示，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC=60°，∠BAC=36°，作OE⊥AB交劣弧于点E，连结EC，则∠OEC=________.14、设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是______.①|a-b|≤|a-c|+|b-c|;②221+aa≥1aa;③1|a-b|+ab≥2;④31aa≤2aa.15、.已知点P（x,y）在曲线sincos2yx(为参数)上，则xy的取值范围为________.三、解答题（本答题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3a，3222bccb．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）设54cosB，求边c的大小．17、（本小题满分13分）如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线28yx的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.（1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2为定值，并求此定值.18、（本小题满分13分）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为111ABC，∠BAC=90°,1AA⊥平面ABC,1AA=3,AB=2,AC=2,11AC=1,DCBD=21.(1)证明:平面1AAD⊥平面BC11CB；(2)求二面角A—1CC—B的余弦值.19、（本小题满分13分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是41,21,43，且各阶段通过与否相互独立.（I）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（II）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望和方差.．20、(本小题满分14分)已知函数f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数，在（-∞，-2）上为减函数.（1）求f(x)的表达式；（2）若当x∈1e,1e1时，不等式f(x)＜m恒成立，求实数m的值；（3）是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数b的取值范围.21、（本小题满分15分）已知：在数列{an}中，a1＝14，an+1＝14an＋24n+1．（1）令bn＝4nan，求证：数列{bn}是等差数列；（2）若Sn为数列{an}的前n项的和，Sn＋λnan≥59对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．2010届高考模拟试题（数学理科卷）答案一、选择题1.A2.C3.A4.B5.A6.A7.D8.D二、填空题9.k≤810.311.32212.0.8013.12o14.③15.33,33三、解答题16、解：（Ⅰ）3a，则3222bcca得：bcacb2222，∴bcacbA2cos222=222323bcbc，∴4A．………………………………………………………………5分（Ⅱ）由054cosB，知B为锐角，所以53sinB．…………6分∴5422sincoscossin)sin(sinBABABAC+10275322．…10分由正弦定理得：537sinsinACac．………………………………12分17、（1）解由已知得2p=8,∴2p=2,…………………………………………2分∴抛物线的焦点坐标为F（2，0），准线方程为x=-2.…………………………4分（2）证明设A（xA，yA），B（xB，yB），直线AB的斜率为k=tan,则直线方程为y=k(x-2),将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,……………………………………6分故xA+xB=22)2(4kk,………………………………………………………6分记直线m与AB的交点为E（xE,yE)，则xE=2BAxx=22)2(2kk,yE=k(xE-2)=k4,……………………………………8分故直线m的方程为y-k4=-k12242kkx,………………………………9分令y=0,得点P的横坐标xP=2242kk+4,………………………………10分故|FP|=xP-2=22)1(4kk=2sin4,…………………………………………11分∴|FP|-|FP|cos2=2sin4(1-cos2)=22sinsin24=8,为定值.…………13分18、方法一(1)证明∵A1A⊥平面ABC,BC平面ABC,∴A1A⊥BC.……………………………………………………………………1分在Rt△ABC中,AB=2,AC=2,∴BC=6.∵BD∶DC=1∶2,∴BD=36.又ABBD=33=BCAB,∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,即AD⊥BC.……………………………………………………………………3分又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.………………………………………………4分∵BC平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.……………………………5分(2)解如图①,作AE⊥C1C交C1C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC1A1,∴AE是BE在平面ACC1A1内的射影.………………………………6分由三垂线定理知BE⊥CC1,∴∠AEB为二面角A—CC1—B的平面角.………………………………7分过C1作C1F⊥AC交AC于F点,则CF=AC-AF=1,C1F=A1A=3,∴∠C1CF=60°.…………………………………………9分在Rt△AEC中,AE=ACsin60°=2×23=3,在Rt△BAE中,tan∠AEB=AEAB=32=36,∴cos∠AEB=515,…………………………………………………………12分即二面角A—CC1—B余弦值为515.………………………………………13分方法二(1)证明如图②,建立空间直角坐标系,图②则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,3),C1(0,1,3).……………………………………………………1分图①∵BD∶DC=1∶2,∴BD=31BC,∴D点坐标为0,32,322,∴AD=0,32,322,BC=(-2,2,0),1AA=(0,0,3).………………………3分∵BC·1AA=0，BC·AD=0∴BC⊥AA1，BC⊥AD.又A1A∩AD=A………………………………4分∴BC⊥平面A1AD.又BC平面BCC1B1∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.………………………………………………5分（2）解∵BA⊥平面ACC1A1，取m=AB=(2,0,0)为平面ACC1A1的法向量.设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),则BC·n=0，1CC·n=0，…………………………………………………6分∴03022zyyx∴x=2y，z=y33，可取y=1，则n=33,1,2…………………9分cos〈m,n〉=222222)33(1)2(00)2(3301022=515,即二面角A—CC1—B的余弦值为515.……………………………………13分19、（I）解：记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则.41)(,21)(,43)(CPBPAP那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是83)211(43)()()(BPAPBApp…………4分（II）解可能取值为1，2，3.…………5分'8.832143)()()()3(,83)211(43)()()()2(,41431)()1(BPAPABPPBPAPBAPPAPP的分布列为：123P418383的数学期望.817833832411E…………11分的方差643983)8173(83)8172(41)8171(222D…………13分20、解（1）∵f′(x)=22(1+x)-1ax=22121xxax,…………………………………………………………2分依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时，f（x）有极小值，∴f′（-2）=0.代入方程解得a=1,故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.……………………………………………………4分(2)由于f′(x)=22(1+x)-1x2(2)1xxx,令f′(x)=0,得x1=0,x2=-2.…………………………………………………5分（由于x∈1e,1e1，故x2=-2舍去），易证函数在0,1e1上单调递减，在［0，e-1］上单