2010年7月自考线性代数(经管类)试卷及答案

全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A＊表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若|B|=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则|A|=(C)A.-12B.-6C.6D.12解析:αi（i=1,2,3）为A的列向量，3行1列2.计算行列式32320200051020203=(A)A.-180B.-120C.120D.180解析:=3*-2*10*3=-1803.若A为3阶方阵且|A-1|=2，则|2A|=(C)A.21B.2C.4D.8解析:=23|A|=8*1/2=44.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有(B)n+1个n维向量线性相关A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=(C)A.2B.3n-r(A)=解向量的个数=2,n=6C.4D.56.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则(C)A与B合同r(A)=r(B)PTAP=B,P可逆A.A与B相似B.|A|=|B|C.A与B等价D.A与B合同7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则|A+2E|=(D)，|A|=所有特征值的积=0A.0B.2A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，|A+2E|=4*3*2C.3D.248.若A、B相似，则下列说法错误．．的是(B)A.A与B等价B.A与B合同C.|A|=|B|D.A与B有相同特征值A、B相似A、B特征值相同|A|=|B|r(A)=r(B)；若A～B，B～C，则A～C（～代表等价）9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=(D)T0,即1*2-2*3+1*t=0，t=4A.-2B.0C.2D.410.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则(B)，所有特征值都大于0，正定；A.A正定B.A半正定所有特征值都小于0，负定；C.A负定D.A半负定所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其他情况不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设A=421023,B=010112，则AB=（A的每一行与B的每一列对应相乘相加）=3*22*03*12*13*12*00*21*00*11*00*11*02*24*02*14*12*14*0=653010422111213212223313233aaaaaaaaa下标依次为行列，如21a表示第二行第一列的元素。A为三行两列的矩阵即3×2的矩阵，B为2×3的矩阵，则AB为3×3的矩阵，对应相乘放在对应位置12.设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-1|=33|A-1|=27*1A=913.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.扩充为123231000000xxxxx，再看答案14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_____跟高中单位向量相同____________.15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______________.16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，21，1，则|5A-1|=____同12题__________.17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.若矩阵A的行列式|A|0，则A可逆，即AA-1=E，E为单位矩阵。Ax=0只有零解|A|0，故A可逆若A可逆，则r(AB)=r(B)=3，同理若C可逆，则r(ABC)=r(B)18.实对称矩阵A=110101012所对应的二次型f(x1,x2,x3)=22131223222xxxxxx实对称矩阵A对应于211213212223213233xxxxxxxxxxxxxxx各项的系数19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=321，α2=321且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.20.设α=321，则A=ααT的非零特征值是_______________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算5阶行列式D=2000100200000201000222.设矩阵X满足方程200010002X010100001=021102341求X.23.求非齐次线性方程组0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx的通解.24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.25.已知A=2135212ba的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.26.设A=22111212112a，试确定a使r(A)=2.四、证明题（本大题共1小题，6分）27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.