2010年名校精华重组数学试题(7)

1数学2010年天利名校精粹重组（7）数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知m1＋i＝1－ni，其中m、n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝（）A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i2．若方程x+y-6yx+3k=0仅表示一条射线，则实数k的取值范围是（）A．（-∞,3）B．（-∞,0]或k=3C．k=3D．（-∞,0）或k=33．如果函数f（x）=x2+bx+c对任意的实数x，都有)()1(xfxf，那么（）A．)2()0()2(fffB．)2()2()0(fffC．)2()0()2(fffD．)2()2()0(fff4．天津“夏季达沃斯论坛”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A．484121214CCCB．484121214AACC．33484121214ACCCD．33484121214ACCC5．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒6．已知x12，则函数y＝2x＋12x－1的最大值是（）A．2B．1C．－1D．－27．已知A、B、C三点不共线，且点O满足OAOBOC0，则下列结论正确的是（）A．1233OAABBCB．2133OAABBCC．1233OAABBCD．2133OAABBC8．在nxx)12(3的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A．5B．6C．7D．89．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC2数学与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线10．如图，四边形ABCD是一个边长为1的正方形，△MPN是正方形的一个内接正三角形，且MN∥AB，若向正方形内部随机投入一个质点，则质点恰好落在△MPN的概率为（）A．12B．32C．33D．3411．函数f（x）=,,,,MxxPxx其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x）,x∈P}，f（M）={y|y=f（x）,x∈M}.给出下列四个判断：①若P∩M=，则f（P）∩f（M）=②若P∩M≠，则f（P）∩f（M）≠；③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R.其中正确判断有（）A．0个B．1个C．2个D．4个12．已知)(xfy是偶函数，而)1(xfy是奇函数，且对任意10x，都有0)('xf，则)15106(),17101(),1998(fcfbfa的大小关系是（）A．cabB．cbaC．acbD．abc第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13．若不等式02axx的解集是10xx，则a________14．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为.15．下图是求2221232…+100的值的程序框图，则正整数n．3数学16．①存在)2,0(使31cossinaa②存在区间（a，b）使xycos为减函数而xsin＜0③xytan在其定义域内为增函数④)2sin(2cosxxy既有最大、最小值，又是偶函数⑤|62|sinxy最小正周期为π以上命题错误的为____________。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知2111()3cossincos222fxxxx．（Ⅰ）将)(xf化为kxA)sin((00)2，的形式；（Ⅱ）写出()fx的最值及相应的x值；（Ⅲ）若36，且33()52f，求cos2．18．（12分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收、抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；（Ⅱ）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．1,0is开始1ii2ssi?in否输出s结束4数学19．（本小题满分12分）如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C—PA—B的大小的余弦值。20．（本小题满分12分）已知各项都不为零的数列}{na的前n项和是Sn，且121nnnaaS（nN﹡），a1=1.（1）求证：数列}{na是等差数列；（2）若数列}{nb满足12121nnaanb（nN﹡），求证：ninnbn1322.21．（12分）定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈（－1，1），都有f（x）+f（y）=)1(xyyxf;②当x∈（－1，0），f（x）0.（1）求证f（x）为奇函数；（2）试解不等式：f（x）+f（x－1）)21(f.5数学22．已知椭圆C：22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB.（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）若43，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程.参考答案一、选择题1．C[解析]：m1＋i＝m(1－i)2＝m2－m2i＝1－ni，∴m2＝1，n＝m2＝1.故m＝2，n＝1，则m＋ni＝2＋i，选C.2．C[解析]：令yx=t,方程x+y-6yx+3k=0为t2-6t+3k=0∵方程x+y-6yx+3k=0仅表示一条射线∴t2-6t+3k=0的30k6数学3．D[解析]：依题意，由)()1(xfxf知，二次函数的对称轴为x=12,因为cbxxxf2)(开口向上，且f（0）=f（1）,f（-2）=f（3）,所以)2()2()0(fff，选择D.4．A[解析]:先从14名志愿者挑选12名参加接待工作，再从12人中依次挑选早、中、晚三班各4人，则开幕式当天不同的排班种数为484121214CCC44C=484121214CCC5．C[解析]：每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s．6．C[解析]：y＝2x＋12x－1＝－[（1－2x）＋11－2x]＋1，由x12可得1－2x0，根据基本不等式可得（1－2x）＋11－2x≥2，当且仅当1－2x＝11－2x即x＝0时取等号，则ymax＝－1.正确答案为C.7．D[解析]：依题意，由OAOBOC0得OAABAC3，所以1233OAABBC，选择D8．C[解析]：第5项二项式系数为4nC且nnnnCCC,,10中只有4nC最大，故8n．常数项是626831()()2xCx=7．9．D[解析]：∵P到直线直线C1D1的距离就是P到C1的距离,∴点P到直线BC与点C1的距离相等故动点P的轨迹所在的曲线是以C1为焦点、以直线BC为准线的抛物线10．D[解析]：易知质点落在三角形MNP内的概率P＝S△MNPSABCD＝341＝34.11．A[解析]：①②③④错若P={1},M={-1}则f（P）={1},f（M）={1}则f（P）∩f（M）≠故①错若P={1,2},M={1}则f（P）={1,2},f（M）={1}则f（P）∩f（M）=故②错若P={非负实数},M={负实数}则f（P）={非负实数},f（M）={正实数}则f（P）∪f（M）≠R.故③错若P={非负实数},M={正实数}则f（P）={非负实数},f（M）={负实数}则f（P）∪f（M）=R.故④错12．A[解析]：依题意，)(xfy图像关于y轴成轴对称，因为)1(xfy是奇函数，所以)1(xfy的对称中心为（0，0），所以)(xfy的对称中心为（1,0），即f（x）=f（-x）=-f（2+x）=f（x+4），因此函数)(xfy的周期为4，有9822()()1919aff，10125()()1919bff，1061414()()()151515cfff，因为对任意10x，都有0)('xf，所以)(xfy在[0,1]上为增函数，所以)(xfy在[0,2]上为增函数，又142225151919，所以cab.二、填空题7数学是13．1,[解析]：不等式02axx的解集是10xx等价于02axx有两个根0,114．223π[解析]：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V＝13×π×12×22＝22π3.15．100[解析]：本题考查算法语言，属中档题.因为第一次判断执行后，21,2si,第二次判断执行后，2221,3si，而题目要求计算2222100321，故n=100.16．①②③⑤[解析]：①当)2,0(时1cossinaa，故①错②若xycos为减函数则Zkkkx]2,2[，此时xsin0，故②错③当x分别去2,时，y都是0，故③错④∵)2sin(2cosxxy=1coscos22xx∴既有最大、最小值，又是偶函数，故④对⑤|62|sinxy最小正周期为2，故⑤错三、解答题17．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）．2111()3cossincos222fxxxx1cos13sin22xx2分3sin()32x4分（Ⅱ）．当232xkkZ=，即526xkkZ=，时5分()fx得到最小值3126分当232xkkZ=，即26xkkZ=，时7分()fx得到最大值3128分（Ⅲ）．由333()sin()3252f得3sin()35∵36，∴032，∴4cos()359分8数学∴224sin(2)2sin()cos()33325227cos(2)2cos()1332510分∴22cos2cos[(2)]332222cos(2)cossin(2)sin333324375012分18．解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件A，8767()109815PA.……3分即这箱产品被用户接收的概率为715．……4分（Ⅱ）的可能取值为1，2，3．……5分1P=51102，2P=45892108，3P=452897108，……8分∴的概率分布列为：123……10分P514584528∴E=45109345282458151．……12分19．解：（1）.,,ABPCABCABABCPC平面平面…………1分.,,ABCDPABABPABCD平面平面…………2分又.,PCBABCCDPC平面…………3分（2）取AP的中点E，连结CE、DE。.2