2010年高三数学备考“好题速递”系列数学试题

用心爱心专心12010年高三备考数学“好题速递”（28）一、选择题1．已知a∈R，函数f（x）=sinx-|a|,x∈R为奇函数，则a=（）A．0B．1C．-1D．±12．下列说法错误的是（）A．命题：“已知f（x）是R上的增函数，若a＋b≥0，则f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）”的逆否命题为真命题B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”3．不等式x＋5(x－1)2≥2的解集是（）A．[－3，12]B．[－12，3]C．[12，1）∪（1,3]D．[－12，1）∪（1,3]4．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3球，以X表示取出的球的最大号码，则EX等于（）A．4B．4．75C．4．75D．55．幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像如图所示，则（）A．－1n0m1B．n－1,0m1C．－1n0，m1D．n－1，m16．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝（）A．－2B．2C．－98D．98二、填空题7．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B．若∠AOB＝120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为________．8．已知a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．三、解答题9．已知数列{an}是首项为a1＝14，公比q＝14的等比数列，设bn＋2＝3log14an（n∈N*），数列用心爱心专心2{cn}满足cn＝an·bn．（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn；10．已知函数)(),(),1(log)(0021xfyyxPxxf在当点的图象上移动时，点)()(,2100xgyRtytxQ在函数的图象上移动。（I）点P的坐标为（1，-1），点Q也在)(xfy的图象上，求t的值；（II）求函数)(xgy的解析式；（III）若方程12log)2(21xxxg的解集是，求实数t的取值范围。11．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MDABCD平面，NBABCD平面，且MD=NB=1，E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上找点S，使得ES平面AMN，并求线段AS的长；参考答案用心爱心专心3一、选择题1．A解析：∵f（x）是奇函数，x∈R,∴f（0）=0,即-|a|=0,∴a=0．2．C解析：A中∵a＋b≥0，∴a≥－b．又函数f（x）是R上的增函数，∴f（a）≥f（－b），①同理可得，f（b）≥f（－a），②由①＋②，得f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），即原命题为真命题．又原命题与其逆否命题是等价命题，∴逆否命题为真．若p且q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，所以C错误．3．D解析：法一：首先x≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x＋5≥2（x－1）2，即2x2－5x－3≤0，即（2x＋1）（x－3）≤0，解得－12≤x≤3，故原不等式的解集是[－12，1）∪（1,3]．法二：特殊值检验法．首先x≠1，排除B，显然x＝0，x＝2是不等式的解，排除A、C．4．B解析：X取值为3,4,5，且P（X＝3）＝1C53＝110；P（X＝4）＝C32C53＝310；P（X＝5）＝C42C53＝610．∴EX＝3×110＋4×310＋5×610＝4．5．5．B解析：选B．解此类题有一简捷的解决办法，在（0,1）内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图像有交点，则“点低指数大”．由此可知，0m1，n－16．A解析：由f（x＋4）＝f（x），得f（7）＝f（3）＝f（－1），又f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1），f（1）＝2×12＝2，∴f（7）＝－2．二、填空题7．答案：2解析：由题意，如图，在Rt△AOF中，∠AFO＝30°，AO＝a，OF＝c，∴sin30°＝OAOF＝ac＝12．∴e＝ca＝2．8．答案：7解析：|5a－b|2＝25|a|2－10a·b＋|b|2＝25×1－10×1×3×（－12）＋32＝49．∴|5a－b|＝7．三、解答题9．解：（1）证明：由题意知，an＝（14）n（n∈N*）．∵bn＝3log14an－2，b1＝3log14a1－2＝1，∴bn＋1－bn＝3log14an＋1－3log14an＝3log14an＋1an＝3log14q＝3，∴数列{bn}是首项为b1＝1，公差为d＝3的等差数列．（2）由（1）知，an＝（14）n，bn＝3n－2（n∈N*），∴cn＝（3n－2）×（14）n，（n∈N*），用心爱心专心4∴Sn＝1×14＋4×（14）2＋7×（14）3＋…＋（3n－5）×（14）n－1＋（3n－2）×（14）n，于是14Sn＝1×（14）2＋4×（14）3＋7×（14）4＋…＋（3n－5）×（14）n＋（3n－2）×（14）n＋1两式相减得34Sn＝14＋3[（14）2＋（14）3＋…＋（14）n]－（3n－2）×（14）n＋1＝12－（3n＋2）×（14）n＋1，∴Sn＝23－3n＋23·（14）n（n∈N*）．10．解：（I）当点P坐标为（1，-1），点Q的坐标为2(,1)2t，)(xfyQ也在点的图象上，.0)121(log121tt（Ⅱ）设(,)()Qxyygx在的图象上，则00001212xtxxtxyyyy而点00(,)()Pxyyfx在的图象上。010122log(1):()log(2)2tyxygxxtx代入得即为所求（Ⅲ）原方程可化为2101xtxxxx或令22[(1)]311xhxxxxx①当0x时，2(1)22(211xxx时取等号）()322hx；②当21,(1)22(211xxxx时时取等号），()322hx用心爱心专心5故方程()hxt的解集为时，t的取值范围为322,322.11．解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标Dxyz依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2DAMCBNE。1(,0,1),(1,0,1)2NEAM10cos,10||||NEAMNEAMNEAM，所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为1010．（2）设S是线段AN上的点，使得ES平面AMN．(0,1,1)AN,则(0,,),ASAN又11(,1,0),(,1,)22EAESEAAS．由ES平面AMN，得0,0,ESAMESAN即10,2(1)0.故12，此时112(0,,),||222ASAS．经检验，当22AS时，ES平面AMN．故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时22AS