2010年高考全国数学卷(全国Ⅱ文)(含详解答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。第Ⅰ卷（选择题共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在，每小题给出的四个选项中，参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P(A)+P(B)S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么P（A-B）=P(A)-P(B)一、选择题（A）1,4（B）1,5（C）2,4（D）2,5【解析】C：本题考查了集合的基本运算.属于基础知识、基本运算的考查.∵A={1,3}。B={3,5}，∴{1,3,5}AB，∴(){2,4}UCAB故选C.（2）不等式32xx＜0的解集为（A）23xx（B）2xx（C）23xxx或（D）3xx【解析】A：本题考查了不等式的解法∵302xx，∴23x，故选A（3）已知2sin3，则cos(2)x（A）53（B）19（C）19（D）53【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵SINA=2/3，∴21cos(2)cos2(12sin)9（4）函数y=1+ln(x-1)(x1)的反函数是（A）y=1xe-1(x0)(B)y=1xe+1(x0)(C)y=1xe-1(xR)(D）y=1xe+1(xR)【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X1)，∴11ln(1)1,1,1yxxyxeye(5)若变量x,y满足约束条件1325xyxxy则z=2x+y的最大值为（A）1(B)2(C)3(D)4【解析】C：本题考查了线性规划的知识。∵作出可行域，作出目标函数线，可得直线与yx与325xy的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1xy时max3z(6)如果等差数列na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+•••…+7a=（A）14(B)21(C)28(D)35【解析】C：本题考查了数列的基础知识。∵34512aaa，∴44a12717417()7282aaaaaa（7）若曲线2yxaxb在点(0,)b处的切线方程是10xy，则（A）1,1ab(B)1,1ab(C)1,1ab(D)1,1ab【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程∵02xyxaa，∴1a，(0,)b在切线10xy，∴1b（8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（A）34(B)54(C)74(D)34【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴3AE，AS=3，∴SE=23，AF=32，∴3sin4ABF（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种(B)18种(C)36种(D)54种【解析】B：本题考查了排列组合的知识∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有246C，余下放入最后一个信封，∴共有24318C（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB=a,CA=b,a=1，b=2,则CD=（A）13a+23b（B）23a+13b（C）35a+45b（D）45a+35b【解析】B：本题考查了平面向量的基础知识∵CD为角平分线，∴12BDBCADAC，∵ABCBCAab，∴222333ADABab，∴22213333CDCAADbabab（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【解析】D：本题考查了空间想象能力∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，（12）已知椭圆C：22221xyab（ab0）的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线于C相交于A、B两点，若3AFFB。则k=ABCSEF（A）1（B）2（C）3（D）2【解析】B：1122(,),(,)AxyBxy，∵3AFFB，∴123yy，∵32e，设2,3atct，bt，∴222440xyt，直线AB方程为3xsyt。代入消去x，∴222(4)230systyt，∴212122223,44sttyyyyss，222222232,344sttyyss，解得212s，2k（13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________【解析】255：本题考查了同角三角函数的基础知识∵1tan2，∴25cos5(14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________【解析】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识∵9191()rrrrTCxx，∴923,3rr，∴3984C(15)已知抛物线C：y2=2px（p0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质设直线AB：33yx，代入22ypx得23(62)30xpx，又∵AMMB，∴122xp，解得24120pP，解得2,6pp（舍去）（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，4AB，若3OMON，则两圆圆心的距离MN。【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识OMNEAB∵ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为7，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴NE=3，同理可得3ME，在直角三角形ONE中，∵NE=3，ON=3，∴6EON，∴3MON，∴MN=3三、解答题；本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD。【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。由ADC与B的差求出BAD，根据同角关系及差角公式求出BAD的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。（18）（本小题满分12分）已知{}na是各项均为正数的等比数列，且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设21()nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT。【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。（1）设出公比根据条件列出关于1a与d的方程求得1a与d，可求得数列的通项公式。（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1-AC1-B1的大小【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。（20）（本小题满分12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电源能通过T1，T2，T3的概率都是P，电源能通过T4的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999。（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率。【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得P。（2）将MN之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。（2）求出函数的导数()fx，在（2，3）内有极值，即为()fx在（2，3）内有一个零点，即可根据(2)(3)0ff，即可求出A的取值范围。（22）（本小题满分12分）已知斜率为1的直线1与双曲线C：22221(0,0)xyabab相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含A的代数式表示，即可求得A，则A点坐标可得（1，0），由于A在X轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。