2010年高考数学利用法向量求异面直线的距离

用法向量求异面直线间的距离法向量的定义：如果向量a⊥平面α，那么向量a叫做平面α的法向量.异面直线间的距离ABCDA1B1C1D1如何求A1D和AC间的距离?↓即求线AC与面A1C1D的距离↓即求点A(或C)到面A1C1D的距离求点到平面的距离设A是平面α外的一点,AB是α的一条斜线,交平面α于点B,而n是平面α的法向量,那么向量BA在方向n上的正射影长就是点A到平面α的距离h.ABnθ)hαcos,BAnhBABAnn注意!点B必须在平面内c已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,求直线A1D和AC间的距离.BCDA1B1D1AC1xyz解:建立空间直角坐标系第一步:先求平面A1C1D的法向量n由题知:AC=(-1,1,0),A1D=(1,0,1)设法向量n=(x,y,z)100nACnAD解得-x+y=0,x+z=0.即y=x,z=-x所以n=(x,x,-x)=x(1,1,-1)取n=(1,1,-1)第二步:求A到平面A1C1D的距离由图知AA1是平面A1C1D的斜线，向量AA1=（0，0，1）在向量n上的射影长为h=133AAnn第三步：由于线AC平行于面A1C1D，所以点A到平面A1C1D的距离就是异面直线A1D与AC间的距离.所以，所求的距离为33小结：求两条异面直线间的距离步骤如下1.先找到经过一条直线并且与另一条直线平行的平面α2.求α平面的法向量n3.找到连接线与面向量4.求这个向量在法向量n上的射影长,即为所求.练习：已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,E、F、G分别为B1C1、C1D1和A1D1的中点,求：（1）点A1到平面DBEF的距离.（2）并求直线AG与BD间的距离.BCDA1B1D1AC1xyzEFG解:建立如图的空间直角坐标系,则由题知DB=(1,1,0),DF=(0,1/2,1),DA1=(1,0,1),且AG∥BE设平面DBEF的法向量为n=(x,y,z),则有:00nDBnDF即0102xyyz令x=1,y=-1,z=1/2取n=(1,-1,1/2),则A1到平面DBEF的距离h=11nDAn又由AG∥BE,所以AG与BD间的距离就是A点到面DBEF的距离同理可求得AG与BD间的距离为2/3.总结:1.求异面直线间的距离的关键是找到经过一条直线与另一直线平行的平面.把向量通过坐标形式正确表示出来.2.求异面直线间的距离的难点是求这个平面的法向量.3.求异面直线间的距离的重点是转化为求点到面的距离.4.求异面直线间的距离易错的是找连接直线和平面的向量.6.用法向量解题的立几模型一般是:正(长)方体、直棱柱、正棱锥等.5.用法向量解题的立几题的优点是不需大量的逻辑推理,完全依靠计算就可以解决问题.不需要确定垂足的位置.作业:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求异面直线AA1和BD1间的距离.ABCDA1B1D1C1