2010浙江省大学生高等数学(微积分各专业)竞赛试题评析

12010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（数学类）2010年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题（数学类）一、计算题（每小题14分满分70分）1．计算111lim[(1)]2nnnnnnnn2．计算22222exp[]2(1)Rxxyydxdy3．请用,ab描述圆222xyy落在椭圆22221xyab内的充要条件。并求此时椭圆的最小面积。4．已知分段光滑的简单闭曲线(约当曲线)落在平面:10axbycz上，设在上围成的面积为A，求()()()bzcydxcxazdyaybxdzaxbycz，其中n与的方向成右手系。5．设f连续，满足220()12()xxtfxxeftdt，且1(1)1fe，求()(1)nf。二、（本题满分20分）定义数列{}na如下：11101,max{,},2,3,4,2nnaaaxdxn，求limnna。三、（本题满分20分）设函数2()fCR，且lim()0,|()|1xfxfx，证明：lim()0xfx四、（本题满分20分）设非负函数f在[0,1]上满足,,()()()xyfxyfxfy且(1)1f，证明（1）()2,[0,1]fxxx；（2）101()2fxdx2五、（本题满分20分）设全体正整数集合为N，若集合GN对加法封闭（即,xyGxyG），且G内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数N，当nN时，nG。一、计算题：1．解：原极限=112210.511lim121nnnnnnnenn2．解：令,xtsyts,原积分2222112exp1Rtsdtds222221expRxydxdy221=3．解：222xyy落在椭圆22221xyab内的充分必要条件即为0,1到22221xyab的距离1d。而2222minmincossin1dftatbt2222sin2sin1ftabatbt要求最小值,只需讨论0,/2t,可得222222222/bbabbaaaba时b-1时充分必要条件为222222242bbabbbaabba时时此时椭圆面积1Sabd取得最小值时必有222222bbabaS时222224bbaabba时记11coscossinaxbxx即2sincos0,/4/sincosxxxsxx时的最小值易得为min22S222xyy包围圆的椭圆的最小面积为min22S。4．解：原积分=－222sadydzbdzdxcdxdy0.5222222sabcabcds0.5222Aabc35．解：220124expxfxfxxxtftdt1221fxxfx24221fxfxf4214ffxf1111212121nnnnnfxfnffnf而211111210101nffeffn211122131221!!2nnnfnfnen二、解：1111100max,,nnnnaaxdxadxa即{}na单调增且111,2a设01,na则111000max,1,nnaaxdxdx即{}na有界。可知{}na收敛记其极限为a,有11200max,1/2aaaaxdxadxxdxa1a三、证明：00,,,,xfxfxabxtab若不妨设为则/2ftfx有且1f可取得11bafxbafx或时即有2/2/2bbaafxftdtfbfafxftdtfbfa或当x时,lim0xabfx又lim0xfx四、证明：（1）)()()(,,yfxfyxfyx()fx单调增0,11/21xnNnx使得11nfxfnxf1/2fxnx（２）.50)1()1()()(.500.500.50010dxfdxxfdxxfdxxf五、证明：由条件存在G中有限个数,不妨设为1,2,jajk,其最大公约数为1。本题即要证：存在正整数N，当正整数nN时，方程11kkaxaxn有非负整数解。先证明：若,ab的最大公约数为1，axbynnab有非负整数解。易知,2,,aaab被b除的余数都不相同，则n必与某一ma，被b除的余数相同，即nma被b整除，axbyn有非负整数解．若最大公约数为,ab则,axbyabn/,nabab有非负整数解。411,axbyczaxbyabczn有非负整数解。（,,abc最大公约数为）一般的有11kkaxaxn有非负整数解。对充分大的n。（工科类）一、计算题：1．解：原极限=112210.511lim121nnnnnnnenn2．解：22221121235122122xxxxxxxx221ln1arctanln22arctan15xxxxx原积分=253．解：记,sinsinsincoscoscosfBCBCBCBCBC,coscossinsin0BfBCBCBBCB,coscossinsin0CfBCBCCBCCcossincossin/2BBCCBCBC或舍去cos2cossin2sin0/3/3BBBBBACBmax,1.531fBCmin,1fBC4．解：原积分=－222sadydzbdzdxcdxdy0.5222222sabcabcds0.5222Aabc5．解：0.5220.50.502exp2xfxfxxtftdtxfxfx1311ff二、解：1111100max,,nnnnaaxdxadxa即{}na单调增且111,2a5设01,na则111000max,1,nnaaxdxdx即{}na有界。可知{}na收敛记其极限为a,有11200max,1/2aaaaxdxadxxdxa1a三、解：0.50.50.52322220001441441/32Vrdsttdtttdt22.51.5211221323253ttdttt21120四、证明：2222expexpexpexp2222xxxtttxxdtxdttdt五、证明：223tan,tan1tan1tan/3xxxxxxxx易知3sin/6xxx.,3sin2tan222xxx（经管类）一、计算题1．解原极限=11111/41lim11nnnnnnnnnnnnenn2．解：原积分2sinsintantancoscoscosxxxxxeexexdxedxdxexcxxx3．（解答见工科类第一题第3小题）4．解：1111334356182222Dxydxdy5．解：220222xxtfxfeftdtxffxfxx02f二、解：设圆的半径为r，三角形边长为a，则有22232223anrrarn221823nnnaAn234Aalim23nnAA三、证明：()()()xfxePxPx()()PxPxa是5次多项式必有零点设为6若是k重零点则()()kPxPxxaQx()()0QxkQa是5次多项式且若kxafxaf是奇数当经过时改变符号是的极值点。若5,kQxkQxf是偶数是次的可得必有一奇数重零点必有极值点。(2)()()PxPxf的奇数重零点只能是奇数个,的极值点必是奇数个。四、（解答见工科类第四题）五、（解答见数学类第二题）（文专类）一、计算题1．解：lim4xfxgx22limlim0xxfxgxfxgx2、（解答见经管类第一题第2小题）3、（解答见数学类第一题第3小题）4．解：1222165214.4Vxdx5、（解答见经管类第一题第5小题）二、（解答见经管类第二题）三、解：221111222211112211112111dxxxdxdxxdxxxx12111221dxx24四、（解答见数学类第二题）五、（解答见经管类第三题）