生活中的优化问题举例(公开课)

生活中的优化问题举例-----优化问题与导数的综合应用[例1]在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去四个边长均为相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，高是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？x[分析]根据所给几何体的体积公式建模．[解析]设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数，V(x)＝(60－2x)2·x(0x30)＝4x3－240x2＋3600x.∴V′(x)＝12x2－480x＋3600，令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)当0x10时，V′(x)0，当10x30时，V′(x)0.∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值．答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大．[点评]在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?•你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?•是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?[例2]某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是320.8(),3rr06r令2'()0.8(2)0fxrr当2'()0rfr时,当半径r＞２时，f’(r)0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)0它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．0)(',)2,0(xfr时当0)(',)6,2(xfr时当238.0342.0)(rrrfyryo)3(8.0)(23rrrf231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？[例3]某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?RRh解：设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为又(定值),.2RVh则2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR解得3222VRVh从而即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答：罐高与底的直径相等时,所用材料最省.222)(RRhRShRV2练1：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？2128dm解：设版心的高为dm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为:128512()(4)(2)12828,0Sxxxxxx求导数，得'2512()2Sxx令'2512()20Sxx解得16(16xx舍去）。于是宽为128128816x0；当当时，(0,16)x'()Sx(16,)x时，'()Sx0.因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。x128x解法二：由解法(一)得2328722564,8(0)xxxSx当且仅当即时取最小值16128此时y=8816dmdm答：应使用版心宽为，长为，四周空白面积最小)(xS85122xx851222xx[分析]根据题意，月收入＝月产量×单价＝px月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．[例3]某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P＝24200－15x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．[解析]每月生产x吨时的利润为f(x)＝(24200－15x2)x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－35x2＋24000＝0解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为：f(200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[点评]建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方．回顾总结:利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。