张禾瑞高等代数第七章课件

第七章线性变换7.1线性映射7.2线性变换的运算7.3线性变换和矩阵7.4不变子空间7.5特征值和特征向量7.6可以对角化矩阵课外学习8：一类特殊矩阵的特征值惠州学院数学系当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。---拉格朗日（Lagrange,1736-1813）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。---华罗庚（1910－1985）惠州学院数学系7.1线性映射一、内容分布7.1.1线性映射的定义、例.7.1.2线性变换的象与核.二、教学目的:1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）．2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核．三、重点难点:判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核．惠州学院数学系7.1.1线性映射的定义、例设F是一个数域，V和W是F上向量空间.定义1设σ是V到W的一个映射.如果下列条件被满足，就称σ是V到W的一个线性映射：①对于任意②对于任意容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：③对于任意和任意,,V).()()()()(,,aaVFaFba,,,V)()()(baba惠州学院数学系在②中取，对③进行数学归纳，可以得到：（1）（2）0a0)0()()()(1111nnnnaaaa例1对于的每一向量定义σ是到的一个映射，我们证明，σ是一个线性映射.2R21,xx321211,,Rxxxxx3R2R例2令H是中经过原点的一个平面.对于的每一向量ξ，令表示向量ξ在平面H上的正射影.根据射影的性质，是到的一个线性映射.3V3V:3V3V惠州学院数学系例3令A是数域F上一个m×n矩阵，对于n元列空间的每一向量mFnxxx21规定：是一个m×1矩阵，即是空间的一个向量，σ是到的一个线性映射.mFmFnF惠州学院数学系例4令V和W是数域F上向量空间.对于V的每一向量ξ令W的零向量0与它对应，容易看出这是V到W的一个线性映射，叫做零映射.例5令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数k，对于任意定义容易验证，σ是V到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做V的一个位似.特别，取k=1，那么对于每一都有这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映射，如果取k=0，那么σ就是V到V的零映射.,Vk,V,惠州学院数学系例6取定F的一个n元数列对于的每一向量规定容易验证，σ是到F的一个线性映射，这个线性映射也叫做F上一个n元线性函数或上一个线性型..21naaanF.21nxxxFxaxaxann2211nFnF例7对于F[x]的每一多项式f（x），令它的导数与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是F[x]到自身的一个线性映射.xf惠州学院数学系例8令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数所成的R上向量空间，对于每一规定仍是[a,b]上一个连续实函数，根据积分的基本性质，σ是C[a,b]到自身的一个线性映射.,,baCxfdttfxfxaxf惠州学院数学系7.1.2线性变换的象与核定义2设σ是向量空间V到W的一个线性映射,(1)如果那么叫做在σ之下的象.(2)设那么叫做在σ之下的原象.,VV}|)({)(VVV,WW}W)(|{VW定理7.1.1设V和W是数域F上向量空间，而是一个线性映射，那么V的任意子空间在σ之下的象是W的一个子空间，而W的任意子空间在σ之下的原象是V的一个子空间.WV:惠州学院数学系特别，向量空间V在σ之下的象是W的一个子空间，叫做σ的象,记为即另外，W的零子空间{0}在σ之下的原象是V的一个子空间，叫做σ的核，记为即),Im().()Im(V),(Ker}.0)(|{)(VKer惠州学院数学系定理7.1.2设V和W是数域F向量空间，而是一个线性映射，那么(i)σ是满射(ii)σ是单射证明论断(i)是显然的,我们只证论断(ii)如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量.反过来设ker(σ)={0}.如果那么从而所以即σ是单射.WV:W)Im(}0{)(Ker).()(,而V,0)()()(}.0{)ker(,惠州学院数学系如果线性映射有逆映射，那么是W到V的一个线性映射.建议同学给出证明.WV:1惠州学院数学系7.2线性变换的运算一、内容分布7.2.1加法和数乘7.2.2线性变换的积7.2.3线性变换的多项式二、教学目的:掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算.掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换的多项式.三、重点难点:会做运算.惠州学院数学系7.2.1加法和数乘令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线性映射叫做V的一个线性变换.我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设定义:加法:数乘:,那么是V的一个线性变换.可以证明:和都是V的一个线性变换.,),(,FkvL)()(:)(:kkk令，那么对于任意和任意Fba,,,V证明惠州学院数学系).()())()(())()(()()()()()()()(bababababababa所以是V的一个线性变换k令，那么对于任意和任意Fba,,,V.)()()()())()(())(()(babkakbakbakba所以kσ是V的一个线性变换.惠州学院数学系线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对于任意,以下等式成立:)(,,vL(1);(2)).()(令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然具有以下性质：对任意有：)(vL(3)设σ的负变换－σ指的是V到V的映射容易验证，－σ也是V的线性变换，并且),(vL).(:（4）)(惠州学院数学系线性变换的数乘满足下列算律：,)()5(kkk,)()6(lklk),()()7(lkkl,1)8(这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.定理7.2.1L（V）对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间.惠州学院数学系7.2.2线性变换的积设容易证明合成映射也是V上的线性变换，即我们也把合成映射叫做σ与τ的积，并且简记作στ。除上面的性质外，还有：),(,VL).(VL,)()9(,)()10(),()()()11(kkk对于任意成立。)(,,,vLFk惠州学院数学系证明我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地验证。设我们有.V),)(()()())(())(())()(()))((())((因而（9）成立。惠州学院数学系7.2.3线性变换的多项式线性变换的乘法满足结合律：对于任意都有),(,,vL).()(因此,我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次幂nn这里n是正整数。我们再定义0这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。惠州学院数学系进一步，设.)(10nnxaxaaxf是F上一个多项式，而以σ代替x，以代替，得到V的一个线性变换),(VL0a0a.10nnaaa这个线性变换叫做当时f(x)的值，并且记作x).(f（1）因为对于任意我们也可将简记作，这时可以写,)(,00aaV0a0a.)(10nnaaaf惠州学院数学系（2）带入法：如果并且],[)(),(xFxgxf).()()()()()(xgxfxxgxfx那么根据L(V)中运算所满足的性质,我们有).()()()()()(gfgf惠州学院数学系7.3线性变换和矩阵一、内容分布7.3.1线性变换的矩阵7.3.2坐标变换7.3.3矩阵唯一确定线性变换7.3.4线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵二、教学目的:1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给定n阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ的线性变换．2．由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的坐标．3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另一个基的矩阵。三、重点难点:线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换,相似矩阵。惠州学院数学系7.3.1线性变换的矩阵现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一个线性变换，取定V的一个基令,,,,21nnnaaa12211111)(nnaaa22221122)(nnnnnnaaa2211)(………………………………………惠州学院数学系设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211N阶矩阵A叫做线性变换σ关于基的矩阵.上面的表达常常写出更方便的形式:},,,{21n(1)Annn)())(,),(),((),,(212121惠州学院数学系7.3.2坐标变换设V是数域F上一个n维向量空间,是它的一个基,ξ关于这个基的坐标是而σ(ξ)的坐标是问:和之间有什么关系?},,,{21n),,,,(21nxxx).,,,(21nyyy),,,(21nyyy),,,,(21nxxx设.),,,(21212211nnnnxxxxxx惠州学院数学系因为σ是线性变换，所以（2）.))(,),(),(()()()()(21212211nnnnxxxxxx将（1）代入（2）得.),,,()(2121nnxxxA惠州学院数学系最后，等式表明，的坐标所组成的列是),,()(21n关于.21nxxxA综合上面所述,我们得到坐标变换公式：定理7.3.1令V是数域F上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换，而σ关于V的一个基的矩阵是},,,{21n惠州学院数学系nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211如果V中向量ξ关于这个基的坐标是，而σ(ξ)的坐标是，),,,(21nxxx),,,(21nyyy那么nnxxxAyyy2121惠州学院数学系例1在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令σ是将的每一向量旋转角θ的一个旋转.σ是的一个线性变换.我们有2V21,2V2V2V.cossin,sincos212211所以σ关于基的矩阵是21,cossinsincos设，它关于基的坐标是,而的坐标是.那么2V21,xx21,