2006年泰州市数学中考试题及答案

第1页共4页第2页共4页I）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决，可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°，就可以了。请你完成证明过程（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置，关系式MN2=AM2+BN2是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（Ⅰ）证明一将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，则△DCM≌△ACM有CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A又由CA=CB，得CD=CB由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM得∠DCN=∠BCN又CN=CN，∴△CDN≌△CBN有DN=BN，∠CDN=∠B∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°∴在Rt△MDN中，由勾股定理，得MN2=DM2+DN2即MN2=AM2+BN2提示：（1）这是试题参考答案。（2）沿某直线对折，得到的图形与原图形是全等形。全等三角形往往推出多个结论，为下面证明作准备。（3）证明第二对三角形全等，运用“边、角、边”，证明夹角相等是关键，也是难点。（4）利用辅助线构造出的直角三角形，证出结论。（5）若将△BCN沿直线CF对折，得△DCN，连DM，同样可以证明。证明二将△CNB绕C点顺时针旋转90°，得到△CDA，连接DM第3页共4页则△CNB≌△CDA∴∠1=∠2，∠CAD=∠B=45°CD=CN，BN=AD∵AC⊥BC，∠MCN=45°∴∠1+∠3=45°∴∠2+∠3=45°∴∠MCN=∠MCD又CD=CN，CM=CM，∴△CMN≌△CMD∴MN=DM∵∠CAD=∠CAB=45°∴∠DAM=90°在Rt△DAM中，由勾股定理，得DM2=AM2+AD2即MN2=AM2+BN2提示：（1）此种证法是先将△CNB绕点C顺时针旋转90°，得△CDA，连DM，再证明△CMN≌△CMD，并构造出Rt△DMA，运用勾股定理证明的。（2）如图，若将△CAM绕C点逆时针旋转90°，得到△CBE，连EN，用上述方法，同样可以证明，同学们不妨一试。（Ⅱ）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立。证明一将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，则△GCM≌△ACM有CG=CA，GM=AM∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM又由CA=CB，得CG=CB由∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°，∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM得∠GCN=∠BCN又CN=CN，∴△CGN≌△CBN有GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°，∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°∴在Rt△MGN中，由勾股定理，得MN2=GM2+GN2即MN2=AM2+BN2第4页共4页提示：（1）这是试题参考答案。（2）方法与（1）相同，也是△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GM。只需证明GN=BN，∠MGN=90°就可以了。（3）证明∠GCN=∠BCN是难点，是利用角的推导的方法证明的。（4）若将△BCN沿直线CF对折，得△GCN，连GM，同样可以证明。证明二将△CBN绕C点顺时针旋转90°，得到△CAD，连MD则△CBN≌△CAD∴∠ACD=∠BCN，AD=BN，CD=CN，∠CAD=∠B=45°∵∠ECF=45°，∴∠1+∠2=45°，∠1=45°-∠2∴∠MCD=∠ACD-∠1=∠BCN-∠1=90°-∠2-（45°-∠2）=45°=∠MCN又CM=CM，∴△CMD≌△CMN∴MN=DM∵∠BAC=45°=∠CAD∴∠DAM=90°，在Rt△DMA中，由勾股定理，得DM2=AM2+AD2即MN2=AM2+BN217、示例：①在一些人看来②一些人的观点③有些人认为（3分。每个1分）18、（不断地）检讨自己，学习他人。（2分）19、B（3分）20、C（2分）21、示例一：有。智者的解读是对牧师手迹内涵具体明确的解释。示例二：联系不紧密。因为牧师手迹的含义具有不确定性。（手迹可有不同的解读，比如，时光倒流可解读成为人类多作贡献，不一定特指对人生的反省）（2分。言之有理即可）