2007年高中数学竞赛模拟试题(一)含祥解

2007年高中数学竞赛模拟试题（一）一、选择题：1.设集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{NM，映射NMf:使得对任意的Mx，都有)()(xxfxfx是奇数，则这样的映射f的个数是（A）（A）45（B）27（C）15（D）11提示：当2x时，)2(2)()(fxxfxfx为奇数，则)2(f可取1、3、5，有3种取法；当0x时，)0()()(fxxfxfx为奇数，则)0(f可取1、3、5，有3种取法；当1x时，)1(21)()(fxxfxfx为奇数，则)1(f可取1、2、3、4、5，有5种取法。由乘法原理知共有45533个映射。2.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知0)()2(ACABDADCDB，则△ABC的形状是（A）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形提示：ACABADDCDBDADCDB22.3.设函数xbaxxgxxf)(,ln)(，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当1x时，)(xf与)(xg的大小关系是（B）（A）)()(xgxf（B）)()(xgxf（C）)()(xgxf（D）)(xf与)(xg的大小不确定提示：)(xf与)(xg的图象在x轴上有公共点)0,1(，∴0,0)1(bag即.∵xxf1)(',2')(xbaxg,由题意1,1)1()1(''bagf即,∴.21,21ba令)2121(ln)()()(xxxxgxfxF,则0)11(2121211)(22'xxxxF∴)(xF在其定义域内单调递减.由∵0)1(F,∴当1x时,0)(xF,即)()(xgxf.4.设AB是椭圆12222byax（0ba）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则21111PFPFAF+…BFPF1991的值是（D）（A）a98（B）a99（C）a100（D）a101提示：（方法一）由椭圆的定义知aPFPFii221(99,,2,1i)，.198992)(99121aaPFPFiii由题意知9921,,,PPP关于y轴成对称分布，.99)(21)(991219911aPFPFPFiiiii又aBFAF211，故所求的值为a101.（方法二）21111PFPFAF+…BFPF1991)()(1exaexaA)()(99Bexaexa.101)(1019921axxxxxeaBA（A,9921,,,PPP,B关于y轴成对称分布）5.已知正方体ABCD—A1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l，使直线l与直线AC和BC1所成的角都等于600，这样的直线l可以作（B）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条提示：易知异面直线AC与BC1所成的角为600，因此，本题等价于：已知直线a与b所成的角为600，则过空间一点P且与a、b所成的角都是600的直线有且仅有多少条？这不难可判断有3条。6.12)526(n的小数表示中，小数点后至少连续有（A）（A）12n个零（B）22n个零（C）32n个零（D）42n个零提示：由二项式定理知易证Znn])526()526[(1212，因此12)526(n与12)526(n的小数部分完全相同。10152615260，1212)101()526(0nn，即12)526(n的小数表示中小数点后面至少接连有12n个零，因此，12)526(n的小数表示中，小数点后至少连续有12n个零。二、填空题：7.已知02sin2sin5，则)1tan()1tan(00的值是_____________________.【答案】23.提示：弦切变换,构造齐次式解题.)]1()1sin[(]1()1sin[(50000)1sin()1cos(6)1cos()1sin(40000.8.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________________.【答案】85.提示：（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为8521121233512）（）（CC.（方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于83])21()211()21([55544512CCC，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于85831.9.不等式92)211(422xxx的解集为_______________________.【答案】)845,0()021[，.提示：原不等式等价于)21222()92(42xxxx设tx21，则10tt且，122tx，从而原不等式可化为271108)1(10)8()1()1(10222222ttttttttttt或.10.把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为_______________.【答案】261.提示：4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所以大球半径为261124613643143ah.(其中,h表示正四面体的高,a表示正四面体的棱长.)11.设200221,,,aaa均为正实数，且21212121200221aaa，则200221aaa的最小值为____________________.【答案】20024002.提示：令iixa22，则iiixxa12，且121ixxx，其中.2002,,2,1i)(122002322002212002200221xxxxxxaaa)()(200121200231xxxxxx200120012120012002312001200232200221200220012001200112xxxxxxxxxxxx20022002200240022001212.关于x的三次函数)(xfy的两个极值点为P、Q，其中P为原点，Q在曲线221xxy上，则曲线)(xfy的切线斜率的最大值的最小值为_______________.【答案】43.提示：设dcxbxaxxf23)(，依题意知：0)0(0)0('ff且，∴0dc，故23)(bxaxxf，bxaxxf23)(2'，由221xxy及点Q在其上，可设Q点的坐标为],0[),sin1,cos1(.由Q为)(xfy的一个极值点得)cos1(2)cos1(30)cos1()cos1(sin1223baba，显然,1cos，∴ab32cos1，∴23)cos1()sin1(3)cos1()sin1(2ba，∵0a，∴bxaxxf23)(2'存在最大值cos1sin123)2cos1()32(''fabf，数形结合可求得OQk23cos1sin123，其最小值为43.三、解答题：13.已知椭圆12222byax（0ba），过椭圆中心O作互相垂直的两条弦AC、BD，设点A、B的离心角分别为1和2，求)cos(21的取值范围。解：当AC、BD与坐标轴重合时，0)cos(21；当AC、BD与坐标轴不重合时，令21,xOBxOA，则)(2221Zkk，∴1tantan21.由题意知,)sin,cos(11abA,)sin,cos(22abB,则11tantanba,22tantanba.∴212121tantantantan1)cot(2222212122tantan11)tan(tantantan1abbaabab.222abba∴222222221221)2(111)(cot111)cos(babaabba.当且仅当1tan2，即BD的倾斜角为4或43时，上式取等号。∴222221)cos(0baba.14.若a、b、Rc，且满足22)4()(cbabacbakabc，求k的最大值。解:由均值不等式得2222)]2()2[()()4()(cbcabacbabaabcbcacabbcacab222224244)2222()2(22abcbcacab16884,∴)(16884)()4()(22cbaabcabcbcacabcbaabccbaba)2222)(111121(8))(16884(cbbaaabababccbaababc100)25()215(85422522cbacba,等号成立当且仅当02cba,故k的最大值为100.15.某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列如下：123……12P121121121……121设每售出一台电冰箱，电器商获利300元。如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元。问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？解：设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑121x的情况。设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量的函数，且)(100300300xxxy)()(xx.电器商每月获益的平均数,即数学期望为1121)]1(100300[)(300PxPPPxEyxx2)]2(1003002[Px1]100300)1[(xPx]2)1(1002)1(300[121121)112(300xxxxxx)382(3252xx.∵Nx,∴当98xx或时,也就是电器商每月初购进8台或9台电冰箱,收益最大.