2008-2012年全国初中数学联赛试题

2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．已知21a，32b，62c，那么,,abc的大小关系是（）A.abcB.acbC.bacD.bca2．方程222334xxyy的整数解(,)xy的组数为（）A．3B．4C．5D．63．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A．63B．53C．263D．2534．已知实数,ab满足221ab，则44aabb的最小值为（）A．18B．0C．1D．985．若方程22320xpxp的两个不相等的实数根12,xx满足232311224()xxxx，则实数p的所有可能的值之和为（）A．0B．34C．1D．546．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd（数字可重复使用），要求满足acbd.这样的四位数共有（）A．36个B．40个C．44个D．48个二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,abc满足111abctbca，则t_________．2．使得521m是完全平方数的整数m的个数为．3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则BCAP＝．4．已知实数,,abc满足1abc，4abc，22243131319abcaabbcc，则222abc＝．第二试一、已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.二、如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB．三、已知抛物线216yxbxc的顶点为P，与x轴的正半轴交于A1(,0)x、B2(,0)x（12xx）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移24(31)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的解析式.EDPOBCA2011年全国初中数学联赛决赛试卷（4月10日上午8：45——11：15）考生注意：1．本试卷共三大题（13个小题），全卷满分140分．2．用圆珠笔、签字笔或钢笔作答．3．解题书写不要超出装订线．4．不能使用计算器．一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条2．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E．若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．设方程()()0xaxbx的两根是c，d，则方程()()0xcxdx的分根是（）A．a，bB．－a，－bC．c，dD．－c，－d4．若不等式2133xxa有解，则实数a的最小值是（）A．1B．2C．4D．65．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（）A．18B．24C．30D．366．不定方程2225xy的正整数解（x，y）的组数是（）A．0组B．2组C．4组D．无穷多组．二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上．1．二次函数22yxax的图象关于直线x=1对称，则y的最小值是__________．2．已知31a，则20122011201022aaa的值为_____________．3．已知△ABC中，AB＝39，BC＝6，CA＝3，点M是BC的中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是_______________．4．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手参赛，每位选手都与其余10n－1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n的所有可能值是__________．三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1．（本题满分20分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程22(31)210xaxa的两个实数根，使得1212(3)(3)80xxxx成立．求实数a的所有可能值．OEDCBA2．（本题满分25分）抛物线2yaxbxc的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0x1x2．过点A的直线l与x轴交于点C，与抛物线交于点B（异于点A），满足△CAN是等腰直角三角形，且S△BMN=52S△AMN．求该抛物线的解析式．3．（本题满分25分）如图，AD、AH分别是△ABC（其中ABAC）的角平分线、高线，M是AD的中点．△MDH的外接圆交CM于E．求证：∠AEB＝90°．EHMDCBA2010年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若,,abc均为整数且满足1010()()1abac，则||||||abbcca（）A．1.B．2.C．3.D．4.2．若实数,,abc满足等式23||6ab，49||6abc，则c可能取的最大值（）A．0.B．1.C．2.D．3.3．若ba,是两个正数，且,0111abba则（）A．103ab.B．113ab.C．413ab.D．423ab.4．若方程2310xx的两根也是方程420xaxbxc的根，则2abc的值为（）A．－13.B．－9.C．6.D．0.5．在△ABC中，已知60CAB，D，E分别是边AB，AC上的点，且60AED，CEDBED，CDECDB2,则DCB()A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.6．对于自然数n，将其各位数字之和记为na，如2009200911a，201020103a，则12320092010aaaaa（）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,xy满足方程组3319,1,xyxy则22xy.2．二次函数cbxxy2的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知ACAB3，30CAO，则c．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝5，PC＝5，则PB＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试（A）一．（本题满分20分）设整数,,abc（abc）为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆NQIPCAMB⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2yxbxc的图象经过两点P(1,)a，Q(2,10)a.（1）如果,,abc都是整数，且8cba，求,,abc的值.（2）设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程20xbxc的两个根都是整数，求△ABC的面积.第二试（B）一．（本题满分20分）设整数,,abc为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p是大于2的质数，k为正整数．若函数4)1(2pkpxxy的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设71a，则32312612aaa（）A.24.B.25.C.4710.D.4712.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A.72.B.10.C.105.D.73.3．用[]x表示不大于x的最大整数，则方程22[]30xx的解的个数为（）A.1.B.2.C.3.D.4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314.B.37.C.12.D.47.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sinCBE＝（）A.63.B.23.C.13.D.1010.6．设n是大于1909的正整数，使得19092009nn为完全平方数的n的个数是（）A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t是实数，若,ab是关于x的一元二次方程2210xxt的两个非负实根，则22(1)(1)ab的最小值是____________.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.DBACODABCE3．如果实数,ab满足条件221ab，22|12|21ababa，则ab______.4．已知,ab是正整数，且满足15152()ab是整数，则这样的有序数对(,)ab共有_____对.第二试（A）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且2ABCS△＝，求b和c的值.二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，1I、2I分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求1I2I.三．（本题满分25分）已知,,abc为正数，满足如下两个条件：32abc①14bcacababcbccaab②证明：以,,abc为三边长可构成一个直角三角形.第二试（B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.FEBCADFEI1I2DBACFQEPHNMACB三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,abc为正数，满足如下两个条件：32abc①14bcacababcbccaab②是否存在以,,abc为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.2008年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为DCBA,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选