2008年复变函数与积分变换试题(A卷)评分标准

第1页/共6页2008～2009学年第一学期《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A卷)解答院(系)_____1____专业班级__________学号_______________姓名__________考试日期:2008年11月24日考试时间:晚上7:00~9:30题号一二三四五六七八总分得分一、填空题(每空2分，共20分)1．复数ii2332的主辐角为．2．函数)3(3)(2323yxyiyxxzf在何处可导？，何处解析？．3．)43(Lni的值为．4．级数1nnni是否收敛？；是否绝对收敛？．5．函数1e)(zzzf在0z点展开成泰勒(Taylor)级数的收敛半径为．6．区域}0Im:{zzD在映射zwe下的像为．7．映射2332)(zzzf在iz处的旋转角为．8．函数ttttfcos)2()1()(2的Fourier变换为．得分评卷人解答内容不得超过装订线2/π0)(0,点处处不解析π)2kπ3)/arctan(4-(ln5i是否1下半平面4/π3ωj-e1cos第2页/共6页二、计算题(每题5分，共20分)1．3||342215d)1()1(zzzzz解：令342215)1()1()(zzzzf，则34222)1()1(11)1(zzzzzf，原式]),([Res2zfi]0,1)1([Res22zzfi，(3分)izziz2)1()1(1203422．(5分)2．3||d1coszzzz解：0z为zzzf1cos)(的本性奇点，将)(zf在0z的邻域内展开得)1!611!411!211(1cos642zzzzzz31!411!21zzz，(3分)原式iizzi)!21(2]0,1cos[Res2．(5分)3．)1(20aaπcosd解：令iez，则zz21cos2，zizdd，原式zzazizd12121||2zzfizd)(21||，(2分)函数)(zf在1||z只有一个一阶极点121aaz，(3分)原式]),([Res221zzfii122122zzazii122a．(5分)得分评卷人第3页/共6页4．xxxdcos052解：令5)(2zezfzi，则)(zf在上半平面只有一个一阶极点iz51，xxeIxid52]),([Res21zzfiizzizei52255e，(3分)原式IRe21525e．(5分)三、(14分)已知yxyaxyxu22),(，求常数a以及二元函数),(yxv，使得viuzf)(为解析函数且满足条件iif1)(．解：(1)222xu，ayu222，由02222yuxu可得1a，(3分)即yxyxyxu22),(．(2)由yvyxxu2，ydyxv)2()(2122xyxy，(7分)由)(22xyxvxyyu，xx)(，Cxx221)(，(11分))22121()(2222Cyxyxiyxyxzf，(3)由iif1)(得21C，(13分)即)2122121()(2222yxyxiyxyxzf．(14分)得分评卷人解答内容不得超过装订线2)21(2izi第4页/共6页四、(14分)将函数211)(zzf分别在0z点和iz点展开为洛朗(Laurent)级数．解：(1)在0z点展开①当1||z时，)(11)(2zzf02)1(nnnz；(3分)②当1||z时，)1(111)(22zzzf0221)1(1nnnzz0221)1(nnnz．(6分)(2)在iz点展开iizizizizzf211)()(1)(，①当2||0iz时，iiziizzf211211)(0)2()(211nnniiziiz011)2()(nnniiz；(10分)②当2||iz时，iziizzf211)(1)(202)()2()(1nnniziiz02)()2(nnnizi．(14分)得分评卷人第5页/共6页五、(6分)求区域}0Im,0Re:{zzzD在映射izizw22下的像．解：令21zz，则izizw11，(3分)(6分)即像区域为单位圆的外部(如图)。注：本题也可由21zz，izizz112，21zw三步完成。六、(10分)求把区域}23arg0,1||:{zzzD映射到上半平面的共形映射．解：(3分)(7分)(9分)(10分)得分评卷人得分评卷人解答内容不得超过装订线(z)(z1)(z1)111(z)1(w)11(z2)(w)3/21zz23/23/211zzw11112zzz22zw23/23/211zzw或21zzizizw11第6页/共6页七、(10分)利用Laplace变换求解微分方程：0)(4)(2)(txtxtx，1)0(,0)0(xx．解：(1)令)(sX)]([tx，对方程的两边作Laplace变换得：0)(4)(21)(2sXsXssXs，(3分)421)(2sssX)]51([)]51([1ss，(5分)(2))51(1)51(1521)(sssX，(8分))(tx)]([1sX)(521)51()51(eett．(10分)八、(6分)已知幂级数0nnnza的系数满足：110aa，)2(,21naaannn，该级数在251||z内收敛到函数)(zf，证明：)(d)1()()(1216.0||2zfzfi，)6.0||(z．证明：(1)由题意可知，)(f在6.0||上解析，(1分)1)(12f在6.0||上解析，(2分)当6.0||z时，由柯西积分公式有：d)1()()(1216.0||2zfizzfz1)(12；(4分)(2)0)(nnnzazf221)(1nnnnzaaz)()1)((12zfzzfzz)()(12zfzzfz，)(1)(12zfzzfz；即证。(6分)得分评卷人得分评卷人tt5sh51e